Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77670 / 57954
↖ ↑ ↗
← N 20.380676°
E 33.327026°		 ← 286.31 m → N 20.380676°
E 33.329773°		 →
↑
286.25 m
↓
↑
286.25 m
↓
N 20.378102°
E 33.327026°		 ← 286.31 m →
81 955 m²		 N 20.378102°
E 33.329773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592578887939453 y=0.442157745361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592578887939453 × 217)
    floor (0.592578887939453 × 131072)
    floor (77670.5)     		tx = 77670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442157745361328 × 217)
    floor (0.442157745361328 × 131072)
    floor (57954.5)     		ty = 57954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77670 / 57954 ti = "17/77670/57954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77670/57954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77670 ÷ 217
    77670 ÷ 131072     		x = 0.592575073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57954 ÷ 217
    57954 ÷ 131072     		y = 0.442153930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592575073242188 × 2 - 1) × π
    0.185150146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58166634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442153930664062 × 2 - 1) × π
    0.115692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.363457572919266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58166634} λ = 0.58166634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363457572919266))-π/2
    2×atan(1.43829383300217)-π/2
    2×0.963253114942378-π/2
    1.92650622988476-1.57079632675     		φ = 0.35570990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58166634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.327026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35570990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.380676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77670 KachelY 57954 0.58166634 0.35570990 33.327026 20.380676
    Oben rechts KachelX + 1 77671 KachelY 57954 0.58171428 0.35570990 33.329773 20.380676
    Unten links KachelX 77670 KachelY + 1 57955 0.58166634 0.35566497 33.327026 20.378102
    Unten rechts KachelX + 1 77671 KachelY + 1 57955 0.58171428 0.35566497 33.329773 20.378102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35570990-0.35566497) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dl = 286.249029999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35570990-0.35566497) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dr = 286.249029999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58166634-0.58171428) × cos(0.35570990) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.937399498172575 × 6371000     		do = 286.305935405463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58166634-0.58171428) × cos(0.35566497) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.937415144364567 × 6371000     		du = 286.31071415523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35570990)-sin(0.35566497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937399498172575-0.937415144364567)×R²
    abs(0.58171428-0.58166634)×1.56461919920137e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.56461919920137e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.56461919920137e-05×40589641000000     		ar = 81955.4802631103m²