Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77670 / 57182
↖ ↑ ↗
← N 22.355156°
E 33.327026°		 ← 282.47 m → N 22.355156°
E 33.329773°		 →
↑
282.43 m
↓
↑
282.43 m
↓
N 22.352616°
E 33.327026°		 ← 282.48 m →
79 778 m²		 N 22.352616°
E 33.329773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592578887939453 y=0.436267852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592578887939453 × 217)
    floor (0.592578887939453 × 131072)
    floor (77670.5)     		tx = 77670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436267852783203 × 217)
    floor (0.436267852783203 × 131072)
    floor (57182.5)     		ty = 57182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77670 / 57182 ti = "17/77670/57182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77670/57182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77670 ÷ 217
    77670 ÷ 131072     		x = 0.592575073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57182 ÷ 217
    57182 ÷ 131072     		y = 0.436264038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592575073242188 × 2 - 1) × π
    0.185150146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58166634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436264038085938 × 2 - 1) × π
    0.127471923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.400464859425949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58166634} λ = 0.58166634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.400464859425949))-π/2
    2×atan(1.49251834762621)-π/2
    2×0.980483703798193-π/2
    1.96096740759639-1.57079632675     		φ = 0.39017108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58166634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.327026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39017108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.355156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77670 KachelY 57182 0.58166634 0.39017108 33.327026 22.355156
    Oben rechts KachelX + 1 77671 KachelY 57182 0.58171428 0.39017108 33.329773 22.355156
    Unten links KachelX 77670 KachelY + 1 57183 0.58166634 0.39012675 33.327026 22.352616
    Unten rechts KachelX + 1 77671 KachelY + 1 57183 0.58171428 0.39012675 33.329773 22.352616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39017108-0.39012675) × R
    4.43299999999813e-05 × 6371000     		dl = 282.426429999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39017108-0.39012675) × R
    4.43299999999813e-05 × 6371000     		dr = 282.426429999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58166634-0.58171428) × cos(0.39017108) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.924844003688282 × 6371000     		do = 282.471164211525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58166634-0.58171428) × cos(0.39012675) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.924860863546233 × 6371000     		du = 282.476313646116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39017108)-sin(0.39012675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924844003688282-0.924860863546233)×R²
    abs(0.58171428-0.58166634)×1.68598579506352e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.68598579506352e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.68598579506352e-05×40589641000000     		ar = 79778.0496674948m²