Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7767 / 4385
↖ ↑ ↗
← N 63.850354°
W  9.338379°		 ← 1 076.79 m → N 63.850354°
W  9.316406°		 →
↑
1 076.95 m
↓
↑
1 076.95 m
↓
N 63.840668°
W  9.338379°		 ← 1 077.17 m →
1 159 858 m²		 N 63.840668°
W  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474090576171875 y=0.267669677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474090576171875 × 214)
    floor (0.474090576171875 × 16384)
    floor (7767.5)     		tx = 7767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267669677734375 × 214)
    floor (0.267669677734375 × 16384)
    floor (4385.5)     		ty = 4385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7767 / 4385 ti = "14/7767/4385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7767/4385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7767 ÷ 214
    7767 ÷ 16384     		x = 0.47406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4385 ÷ 214
    4385 ÷ 16384     		y = 0.26763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.0518798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16298546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26763916015625 × 2 - 1) × π
    0.4647216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45996621482843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16298546} λ = -0.16298546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45996621482843))-π/2
    2×atan(4.30581405322123)-π/2
    2×1.3425976148882-π/2
    2.68519522977639-1.57079632675     		φ = 1.11439890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16298546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.338379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11439890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.850354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7767 KachelY 4385 -0.16298546 1.11439890 -9.338379 63.850354
    Oben rechts KachelX + 1 7768 KachelY 4385 -0.16260196 1.11439890 -9.316406 63.850354
    Unten links KachelX 7767 KachelY + 1 4386 -0.16298546 1.11422986 -9.338379 63.840668
    Unten rechts KachelX + 1 7768 KachelY + 1 4386 -0.16260196 1.11422986 -9.316406 63.840668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11439890-1.11422986) × R
    0.000169040000000065 × 6371000     		dl = 1076.95384000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11439890-1.11422986) × R
    0.000169040000000065 × 6371000     		dr = 1076.95384000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16298546--0.16260196) × cos(1.11439890) × R
    0.000383500000000009 × 0.440717138335602 × 6371000     		do = 1076.79470867693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16298546--0.16260196) × cos(1.11422986) × R
    0.000383500000000009 × 0.440868870123979 × 6371000     		du = 1077.16543169324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11439890)-sin(1.11422986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440717138335602-0.440868870123979)×R²
    abs(-0.16260196--0.16298546)×0.000151731788376741×R²
    0.000383500000000009×0.000151731788376741×6371000²
    0.000383500000000009×0.000151731788376741×40589641000000     		ar = 1159857.82495182m²