Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77669 / 84190
↖ ↑ ↗
← S 45.517895°
E 33.324280°		 ← 214.01 m → S 45.517895°
E 33.327026°		 →
↑
214 m
↓
↑
214 m
↓
S 45.519820°
E 33.324280°		 ← 214 m →
45 797 m²		 S 45.519820°
E 33.327026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592571258544922 y=0.642322540283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592571258544922 × 217)
    floor (0.592571258544922 × 131072)
    floor (77669.5)     		tx = 77669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642322540283203 × 217)
    floor (0.642322540283203 × 131072)
    floor (84190.5)     		ty = 84190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77669 / 84190 ti = "17/77669/84190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77669/84190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77669 ÷ 217
    77669 ÷ 131072     		x = 0.592567443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84190 ÷ 217
    84190 ÷ 131072     		y = 0.642318725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592567443847656 × 2 - 1) × π
    0.185134887695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.58161840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642318725585938 × 2 - 1) × π
    -0.284637451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.894214925512527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58161840} λ = 0.58161840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894214925512527))-π/2
    2×atan(0.40892851199589)-π/2
    2×0.388179594868148-π/2
    0.776359189736296-1.57079632675     		φ = -0.79443714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58161840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.324280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79443714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.517895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77669 KachelY 84190 0.58161840 -0.79443714 33.324280 -45.517895
    Oben rechts KachelX + 1 77670 KachelY 84190 0.58166634 -0.79443714 33.327026 -45.517895
    Unten links KachelX 77669 KachelY + 1 84191 0.58161840 -0.79447073 33.324280 -45.519820
    Unten rechts KachelX + 1 77670 KachelY + 1 84191 0.58166634 -0.79447073 33.327026 -45.519820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79443714--0.79447073) × R
    3.35900000000278e-05 × 6371000     		dl = 214.001890000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79443714--0.79447073) × R
    3.35900000000278e-05 × 6371000     		dr = 214.001890000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58161840-0.58166634) × cos(-0.79443714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700686460359409 × 6371000     		do = 214.007680663113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58161840-0.58166634) × cos(-0.79447073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700662494529344 × 6371000     		du = 214.000360881731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79443714)-sin(-0.79447073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700686460359409-0.700662494529344)×R²
    abs(0.58166634-0.58161840)×2.39658300645873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39658300645873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39658300645873e-05×40589641000000     		ar = 45797.2649172028m²