Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77669 / 58227
↖ ↑ ↗
← N 19.676212°
E 33.324280°		 ← 287.59 m → N 19.676212°
E 33.327026°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
N 19.673625°
E 33.324280°		 ← 287.60 m →
82 708 m²		 N 19.673625°
E 33.327026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592571258544922 y=0.444240570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592571258544922 × 217)
    floor (0.592571258544922 × 131072)
    floor (77669.5)     		tx = 77669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444240570068359 × 217)
    floor (0.444240570068359 × 131072)
    floor (58227.5)     		ty = 58227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77669 / 58227 ti = "17/77669/58227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77669/58227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77669 ÷ 217
    77669 ÷ 131072     		x = 0.592567443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58227 ÷ 217
    58227 ÷ 131072     		y = 0.444236755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592567443847656 × 2 - 1) × π
    0.185134887695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.58161840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444236755371094 × 2 - 1) × π
    0.111526489257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.35037079932299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58161840} λ = 0.58161840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35037079932299))-π/2
    2×atan(1.41959383544693)-π/2
    2×0.957105503446303-π/2
    1.91421100689261-1.57079632675     		φ = 0.34341468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58161840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.324280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34341468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.676212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77669 KachelY 58227 0.58161840 0.34341468 33.324280 19.676212
    Oben rechts KachelX + 1 77670 KachelY 58227 0.58166634 0.34341468 33.327026 19.676212
    Unten links KachelX 77669 KachelY + 1 58228 0.58161840 0.34336954 33.324280 19.673625
    Unten rechts KachelX + 1 77670 KachelY + 1 58228 0.58166634 0.34336954 33.327026 19.673625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34341468-0.34336954) × R
    4.51400000000546e-05 × 6371000     		dl = 287.586940000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34341468-0.34336954) × R
    4.51400000000546e-05 × 6371000     		dr = 287.586940000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58161840-0.58166634) × cos(0.34341468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941610419764555 × 6371000     		do = 287.592059248111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58161840-0.58166634) × cos(0.34336954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941625617639459 × 6371000     		du = 287.5967010703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34341468)-sin(0.34336954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941610419764555-0.941625617639459)×R²
    abs(0.58166634-0.58161840)×1.51978749033388e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51978749033388e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51978749033388e-05×40589641000000     		ar = 82708.3877653468m²