Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77669 / 58157
↖ ↑ ↗
← N 19.857144°
E 33.324280°		 ← 287.27 m → N 19.857144°
E 33.327026°		 →
↑
287.20 m
↓
↑
287.20 m
↓
N 19.854561°
E 33.324280°		 ← 287.27 m →
82 505 m²		 N 19.854561°
E 33.327026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592571258544922 y=0.443706512451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592571258544922 × 217)
    floor (0.592571258544922 × 131072)
    floor (77669.5)     		tx = 77669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443706512451172 × 217)
    floor (0.443706512451172 × 131072)
    floor (58157.5)     		ty = 58157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77669 / 58157 ti = "17/77669/58157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77669/58157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77669 ÷ 217
    77669 ÷ 131072     		x = 0.592567443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58157 ÷ 217
    58157 ÷ 131072     		y = 0.443702697753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592567443847656 × 2 - 1) × π
    0.185134887695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.58161840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443702697753906 × 2 - 1) × π
    0.112594604492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.353726382296394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58161840} λ = 0.58161840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353726382296394))-π/2
    2×atan(1.42436540156602)-π/2
    2×0.958684434628606-π/2
    1.91736886925721-1.57079632675     		φ = 0.34657254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58161840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.324280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34657254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.857144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77669 KachelY 58157 0.58161840 0.34657254 33.324280 19.857144
    Oben rechts KachelX + 1 77670 KachelY 58157 0.58166634 0.34657254 33.327026 19.857144
    Unten links KachelX 77669 KachelY + 1 58158 0.58161840 0.34652746 33.324280 19.854561
    Unten rechts KachelX + 1 77670 KachelY + 1 58158 0.58166634 0.34652746 33.327026 19.854561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34657254-0.34652746) × R
    4.50799999999751e-05 × 6371000     		dl = 287.204679999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34657254-0.34652746) × R
    4.50799999999751e-05 × 6371000     		dr = 287.204679999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58161840-0.58166634) × cos(0.34657254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940542461438807 × 6371000     		do = 287.265877286181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58161840-0.58166634) × cos(0.34652746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940557773083382 × 6371000     		du = 287.270553856555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34657254)-sin(0.34652746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940542461438807-0.940557773083382)×R²
    abs(0.58166634-0.58161840)×1.53116445746893e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53116445746893e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53116445746893e-05×40589641000000     		ar = 82504.7759413773m²