Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77668 / 57194
↖ ↑ ↗
← N 22.324671°
E 33.321533°		 ← 282.47 m → N 22.324671°
E 33.324280°		 →
↑
282.49 m
↓
↑
282.49 m
↓
N 22.322130°
E 33.321533°		 ← 282.48 m →
79 797 m²		 N 22.322130°
E 33.324280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592563629150391 y=0.436359405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592563629150391 × 217)
    floor (0.592563629150391 × 131072)
    floor (77668.5)     		tx = 77668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436359405517578 × 217)
    floor (0.436359405517578 × 131072)
    floor (57194.5)     		ty = 57194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77668 / 57194 ti = "17/77668/57194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77668/57194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77668 ÷ 217
    77668 ÷ 131072     		x = 0.592559814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57194 ÷ 217
    57194 ÷ 131072     		y = 0.436355590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592559814453125 × 2 - 1) × π
    0.18511962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58157047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436355590820312 × 2 - 1) × π
    0.127288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.399889616630508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58157047} λ = 0.58157047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399889616630508))-π/2
    2×atan(1.49166003409268)-π/2
    2×0.980217669783866-π/2
    1.96043533956773-1.57079632675     		φ = 0.38963901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58157047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.321533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38963901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.324671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77668 KachelY 57194 0.58157047 0.38963901 33.321533 22.324671
    Oben rechts KachelX + 1 77669 KachelY 57194 0.58161840 0.38963901 33.324280 22.324671
    Unten links KachelX 77668 KachelY + 1 57195 0.58157047 0.38959467 33.321533 22.322130
    Unten rechts KachelX + 1 77669 KachelY + 1 57195 0.58161840 0.38959467 33.324280 22.322130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38963901-0.38959467) × R
    4.43400000000316e-05 × 6371000     		dl = 282.490140000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38963901-0.38959467) × R
    4.43400000000316e-05 × 6371000     		dr = 282.490140000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58157047-0.58161840) × cos(0.38963901) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92504624380611 × 6371000     		do = 282.473998852682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58157047-0.58161840) × cos(0.38959467) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.925063085645628 × 6371000     		du = 282.479141710986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38963901)-sin(0.38959467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92504624380611-0.925063085645628)×R²
    abs(0.58161840-0.58157047)×1.68418395172232e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68418395172232e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68418395172232e-05×40589641000000     		ar = 79796.8458988368m²