Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77668 / 57124
↖ ↑ ↗
← N 22.502407°
E 33.321533°		 ← 282.11 m → N 22.502407°
E 33.324280°		 →
↑
282.17 m
↓
↑
282.17 m
↓
N 22.499870°
E 33.321533°		 ← 282.12 m →
79 605 m²		 N 22.499870°
E 33.324280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592563629150391 y=0.435825347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592563629150391 × 217)
    floor (0.592563629150391 × 131072)
    floor (77668.5)     		tx = 77668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435825347900391 × 217)
    floor (0.435825347900391 × 131072)
    floor (57124.5)     		ty = 57124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77668 / 57124 ti = "17/77668/57124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77668/57124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77668 ÷ 217
    77668 ÷ 131072     		x = 0.592559814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57124 ÷ 217
    57124 ÷ 131072     		y = 0.435821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592559814453125 × 2 - 1) × π
    0.18511962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58157047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435821533203125 × 2 - 1) × π
    0.12835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.403245199603912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58157047} λ = 0.58157047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403245199603912))-π/2
    2×atan(1.49667383050554)-π/2
    2×0.981768713288908-π/2
    1.96353742657782-1.57079632675     		φ = 0.39274110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58157047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.321533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39274110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.502407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77668 KachelY 57124 0.58157047 0.39274110 33.321533 22.502407
    Oben rechts KachelX + 1 77669 KachelY 57124 0.58161840 0.39274110 33.324280 22.502407
    Unten links KachelX 77668 KachelY + 1 57125 0.58157047 0.39269681 33.321533 22.499870
    Unten rechts KachelX + 1 77669 KachelY + 1 57125 0.58161840 0.39269681 33.324280 22.499870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39274110-0.39269681) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dl = 282.171590000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39274110-0.39269681) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dr = 282.171590000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58157047-0.58161840) × cos(0.39274110) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923863451987965 × 6371000     		do = 282.112819142025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58157047-0.58161840) × cos(0.39269681) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923880401850368 × 6371000     		du = 282.117994986417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39274110)-sin(0.39269681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923863451987965-0.923880401850368)×R²
    abs(0.58161840-0.58157047)×1.69498624028597e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69498624028597e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69498624028597e-05×40589641000000     		ar = 79604.9529878633m²