Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77667 / 84363
↖ ↑ ↗
← S 45.849847°
E 33.318787°		 ← 212.74 m → S 45.849847°
E 33.321533°		 →
↑
212.73 m
↓
↑
212.73 m
↓
S 45.851761°
E 33.318787°		 ← 212.73 m →
45 255 m²		 S 45.851761°
E 33.321533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592555999755859 y=0.643642425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592555999755859 × 217)
    floor (0.592555999755859 × 131072)
    floor (77667.5)     		tx = 77667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643642425537109 × 217)
    floor (0.643642425537109 × 131072)
    floor (84363.5)     		ty = 84363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77667 / 84363 ti = "17/77667/84363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77667/84363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77667 ÷ 217
    77667 ÷ 131072     		x = 0.592552185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84363 ÷ 217
    84363 ÷ 131072     		y = 0.643638610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592552185058594 × 2 - 1) × π
    0.185104370117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.58152253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643638610839844 × 2 - 1) × π
    -0.287277221679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.902508009146797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58152253} λ = 0.58152253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902508009146797))-π/2
    2×atan(0.405551256930763)-π/2
    2×0.385282763953103-π/2
    0.770565527906207-1.57079632675     		φ = -0.80023080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58152253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.318787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80023080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.849847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77667 KachelY 84363 0.58152253 -0.80023080 33.318787 -45.849847
    Oben rechts KachelX + 1 77668 KachelY 84363 0.58157047 -0.80023080 33.321533 -45.849847
    Unten links KachelX 77667 KachelY + 1 84364 0.58152253 -0.80026419 33.318787 -45.851761
    Unten rechts KachelX + 1 77668 KachelY + 1 84364 0.58157047 -0.80026419 33.321533 -45.851761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80023080--0.80026419) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dl = 212.72769000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80023080--0.80026419) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dr = 212.72769000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58152253-0.58157047) × cos(-0.80023080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696541125006546 × 6371000     		do = 212.741588545417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58152253-0.58157047) × cos(-0.80026419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696517166729921 × 6371000     		du = 212.73427107105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80023080)-sin(-0.80026419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696541125006546-0.696517166729921)×R²
    abs(0.58157047-0.58152253)×2.39582766257129e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39582766257129e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39582766257129e-05×40589641000000     		ar = 45255.2483877666m²