Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77667 / 84361
↖ ↑ ↗
← S 45.846021°
E 33.318787°		 ← 212.76 m → S 45.846021°
E 33.321533°		 →
↑
212.73 m
↓
↑
212.73 m
↓
S 45.847934°
E 33.318787°		 ← 212.75 m →
45 258 m²		 S 45.847934°
E 33.321533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592555999755859 y=0.643627166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592555999755859 × 217)
    floor (0.592555999755859 × 131072)
    floor (77667.5)     		tx = 77667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643627166748047 × 217)
    floor (0.643627166748047 × 131072)
    floor (84361.5)     		ty = 84361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77667 / 84361 ti = "17/77667/84361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77667/84361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77667 ÷ 217
    77667 ÷ 131072     		x = 0.592552185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84361 ÷ 217
    84361 ÷ 131072     		y = 0.643623352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592552185058594 × 2 - 1) × π
    0.185104370117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.58152253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643623352050781 × 2 - 1) × π
    -0.287246704101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.902412135347557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58152253} λ = 0.58152253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902412135347557))-π/2
    2×atan(0.405590140534481)-π/2
    2×0.385316155123601-π/2
    0.770632310247203-1.57079632675     		φ = -0.80016402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58152253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.318787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80016402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.846021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77667 KachelY 84361 0.58152253 -0.80016402 33.318787 -45.846021
    Oben rechts KachelX + 1 77668 KachelY 84361 0.58157047 -0.80016402 33.321533 -45.846021
    Unten links KachelX 77667 KachelY + 1 84362 0.58152253 -0.80019741 33.318787 -45.847934
    Unten rechts KachelX + 1 77668 KachelY + 1 84362 0.58157047 -0.80019741 33.321533 -45.847934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80016402--0.80019741) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dl = 212.72769000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80016402--0.80019741) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dr = 212.72769000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58152253-0.58157047) × cos(-0.80016402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696589039230067 × 6371000     		do = 212.756222782593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58152253-0.58157047) × cos(-0.80019741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696565082506604 × 6371000     		du = 212.748905782601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80016402)-sin(-0.80019741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696589039230067-0.696565082506604)×R²
    abs(0.58157047-0.58152253)×2.39567234626703e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39567234626703e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39567234626703e-05×40589641000000     		ar = 45258.3615457705m²