Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77667 / 57325
↖ ↑ ↗
← N 21.991442°
E 33.318787°		 ← 283.20 m → N 21.991442°
E 33.321533°		 →
↑
283.19 m
↓
↑
283.19 m
↓
N 21.988895°
E 33.318787°		 ← 283.21 m →
80 201 m²		 N 21.988895°
E 33.321533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592555999755859 y=0.437358856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592555999755859 × 217)
    floor (0.592555999755859 × 131072)
    floor (77667.5)     		tx = 77667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437358856201172 × 217)
    floor (0.437358856201172 × 131072)
    floor (57325.5)     		ty = 57325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77667 / 57325 ti = "17/77667/57325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77667/57325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77667 ÷ 217
    77667 ÷ 131072     		x = 0.592552185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57325 ÷ 217
    57325 ÷ 131072     		y = 0.437355041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592552185058594 × 2 - 1) × π
    0.185104370117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.58152253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437355041503906 × 2 - 1) × π
    0.125289916992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.393609882780281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58152253} λ = 0.58152253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393609882780281))-π/2
    2×atan(1.4823221564633)-π/2
    2×0.977309697108031-π/2
    1.95461939421606-1.57079632675     		φ = 0.38382307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58152253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.318787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38382307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.991442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77667 KachelY 57325 0.58152253 0.38382307 33.318787 21.991442
    Oben rechts KachelX + 1 77668 KachelY 57325 0.58157047 0.38382307 33.321533 21.991442
    Unten links KachelX 77667 KachelY + 1 57326 0.58152253 0.38377862 33.318787 21.988895
    Unten rechts KachelX + 1 77668 KachelY + 1 57326 0.58157047 0.38377862 33.321533 21.988895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38382307-0.38377862) × R
    4.44499999999737e-05 × 6371000     		dl = 283.190949999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38382307-0.38377862) × R
    4.44499999999737e-05 × 6371000     		dr = 283.190949999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58152253-0.58157047) × cos(0.38382307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927239797502013 × 6371000     		do = 283.202901309317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58152253-0.58157047) × cos(0.38377862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927256441693032 × 6371000     		du = 283.207984873675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38382307)-sin(0.38377862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927239797502013-0.927256441693032)×R²
    abs(0.58157047-0.58152253)×1.66441910188775e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66441910188775e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66441910188775e-05×40589641000000     		ar = 80201.2184874393m²