Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77666 / 57186
↖ ↑ ↗
← N 22.344995°
E 33.316040°		 ← 282.49 m → N 22.344995°
E 33.318787°		 →
↑
282.49 m
↓
↑
282.49 m
↓
N 22.342455°
E 33.316040°		 ← 282.50 m →
79 802 m²		 N 22.342455°
E 33.318787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592548370361328 y=0.436298370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592548370361328 × 217)
    floor (0.592548370361328 × 131072)
    floor (77666.5)     		tx = 77666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436298370361328 × 217)
    floor (0.436298370361328 × 131072)
    floor (57186.5)     		ty = 57186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77666 / 57186 ti = "17/77666/57186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77666/57186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77666 ÷ 217
    77666 ÷ 131072     		x = 0.592544555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57186 ÷ 217
    57186 ÷ 131072     		y = 0.436294555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592544555664062 × 2 - 1) × π
    0.185089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58147459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436294555664062 × 2 - 1) × π
    0.127410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.400273111827469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58147459} λ = 0.58147459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.400273111827469))-π/2
    2×atan(1.49223218825343)-π/2
    2×0.980395032256956-π/2
    1.96079006451391-1.57079632675     		φ = 0.38999374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58147459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.316040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38999374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.344995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77666 KachelY 57186 0.58147459 0.38999374 33.316040 22.344995
    Oben rechts KachelX + 1 77667 KachelY 57186 0.58152253 0.38999374 33.318787 22.344995
    Unten links KachelX 77666 KachelY + 1 57187 0.58147459 0.38994940 33.316040 22.342455
    Unten rechts KachelX + 1 77667 KachelY + 1 57187 0.58152253 0.38994940 33.318787 22.342455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38999374-0.38994940) × R
    4.43399999999761e-05 × 6371000     		dl = 282.490139999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38999374-0.38994940) × R
    4.43399999999761e-05 × 6371000     		dr = 282.490139999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58147459-0.58152253) × cos(0.38999374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924911439818669 × 6371000     		do = 282.491760940897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58147459-0.58152253) × cos(0.38994940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92492829620706 × 6371000     		du = 282.496909315795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38999374)-sin(0.38994940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924911439818669-0.92492829620706)×R²
    abs(0.58152253-0.58147459)×1.68563883907735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68563883907735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68563883907735e-05×40589641000000     		ar = 79801.8642926923m²