Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77665 / 84257
↖ ↑ ↗
← S 45.646688°
E 33.313294°		 ← 213.47 m → S 45.646688°
E 33.316040°		 →
↑
213.56 m
↓
↑
213.56 m
↓
S 45.648609°
E 33.313294°		 ← 213.47 m →
45 588 m²		 S 45.648609°
E 33.316040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592540740966797 y=0.642833709716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592540740966797 × 217)
    floor (0.592540740966797 × 131072)
    floor (77665.5)     		tx = 77665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642833709716797 × 217)
    floor (0.642833709716797 × 131072)
    floor (84257.5)     		ty = 84257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77665 / 84257 ti = "17/77665/84257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77665/84257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77665 ÷ 217
    77665 ÷ 131072     		x = 0.592536926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84257 ÷ 217
    84257 ÷ 131072     		y = 0.642829895019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592536926269531 × 2 - 1) × π
    0.185073852539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58142666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642829895019531 × 2 - 1) × π
    -0.285659790039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.897426697787071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58142666} λ = 0.58142666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897426697787071))-π/2
    2×atan(0.407617233629747)-π/2
    2×0.387055661378836-π/2
    0.774111322757671-1.57079632675     		φ = -0.79668500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58142666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.313294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79668500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.646688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77665 KachelY 84257 0.58142666 -0.79668500 33.313294 -45.646688
    Oben rechts KachelX + 1 77666 KachelY 84257 0.58147459 -0.79668500 33.316040 -45.646688
    Unten links KachelX 77665 KachelY + 1 84258 0.58142666 -0.79671852 33.313294 -45.648609
    Unten rechts KachelX + 1 77666 KachelY + 1 84258 0.58147459 -0.79671852 33.316040 -45.648609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79668500--0.79671852) × R
    3.35200000000091e-05 × 6371000     		dl = 213.555920000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79668500--0.79671852) × R
    3.35200000000091e-05 × 6371000     		dr = 213.555920000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58142666-0.58147459) × cos(-0.79668500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.69908091230315 × 6371000     		do = 213.472766515273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58142666-0.58147459) × cos(-0.79671852) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.699056943683441 × 6371000     		du = 213.465447408902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79668500)-sin(-0.79671852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69908091230315-0.699056943683441)×R²
    abs(0.58147459-0.58142666)×2.39686197088806e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39686197088806e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39686197088806e-05×40589641000000     		ar = 45587.5915332133m²