Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77665 / 60319
↖ ↑ ↗
← N 14.181849°
E 33.313294°		 ← 296.06 m → N 14.181849°
E 33.316040°		 →
↑
296.12 m
↓
↑
296.12 m
↓
N 14.179186°
E 33.313294°		 ← 296.06 m →
87 670 m²		 N 14.179186°
E 33.316040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592540740966797 y=0.460201263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592540740966797 × 217)
    floor (0.592540740966797 × 131072)
    floor (77665.5)     		tx = 77665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460201263427734 × 217)
    floor (0.460201263427734 × 131072)
    floor (60319.5)     		ty = 60319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77665 / 60319 ti = "17/77665/60319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77665/60319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77665 ÷ 217
    77665 ÷ 131072     		x = 0.592536926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60319 ÷ 217
    60319 ÷ 131072     		y = 0.460197448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592536926269531 × 2 - 1) × π
    0.185073852539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58142666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460197448730469 × 2 - 1) × π
    0.0796051025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.250086805317833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58142666} λ = 0.58142666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.250086805317833))-π/2
    2×atan(1.28413688175995)-π/2
    2×0.909158143212734-π/2
    1.81831628642547-1.57079632675     		φ = 0.24751996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58142666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.313294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24751996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.181849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77665 KachelY 60319 0.58142666 0.24751996 33.313294 14.181849
    Oben rechts KachelX + 1 77666 KachelY 60319 0.58147459 0.24751996 33.316040 14.181849
    Unten links KachelX 77665 KachelY + 1 60320 0.58142666 0.24747348 33.313294 14.179186
    Unten rechts KachelX + 1 77666 KachelY + 1 60320 0.58147459 0.24747348 33.316040 14.179186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24751996-0.24747348) × R
    4.64800000000154e-05 × 6371000     		dl = 296.124080000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24751996-0.24747348) × R
    4.64800000000154e-05 × 6371000     		dr = 296.124080000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58142666-0.58147459) × cos(0.24751996) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.969523013102713 × 6371000     		do = 296.055515412942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58142666-0.58147459) × cos(0.24747348) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.969534399667488 × 6371000     		du = 296.058992437477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24751996)-sin(0.24747348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969523013102713-0.969534399667488)×R²
    abs(0.58147459-0.58142666)×1.13865647747291e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.13865647747291e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.13865647747291e-05×40589641000000     		ar = 87669.6819617168m²