Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77665 / 58143
↖ ↑ ↗
← N 19.893305°
E 33.313294°		 ← 287.14 m → N 19.893305°
E 33.316040°		 →
↑
287.14 m
↓
↑
287.14 m
↓
N 19.890723°
E 33.313294°		 ← 287.15 m →
82 450 m²		 N 19.890723°
E 33.316040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592540740966797 y=0.443599700927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592540740966797 × 217)
    floor (0.592540740966797 × 131072)
    floor (77665.5)     		tx = 77665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443599700927734 × 217)
    floor (0.443599700927734 × 131072)
    floor (58143.5)     		ty = 58143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77665 / 58143 ti = "17/77665/58143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77665/58143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77665 ÷ 217
    77665 ÷ 131072     		x = 0.592536926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58143 ÷ 217
    58143 ÷ 131072     		y = 0.443595886230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592536926269531 × 2 - 1) × π
    0.185073852539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58142666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443595886230469 × 2 - 1) × π
    0.112808227539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.354397498891075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58142666} λ = 0.58142666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354397498891075))-π/2
    2×atan(1.42532163766097)-π/2
    2×0.959000005463815-π/2
    1.91800001092763-1.57079632675     		φ = 0.34720368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58142666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.313294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34720368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.893305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77665 KachelY 58143 0.58142666 0.34720368 33.313294 19.893305
    Oben rechts KachelX + 1 77666 KachelY 58143 0.58147459 0.34720368 33.316040 19.893305
    Unten links KachelX 77665 KachelY + 1 58144 0.58142666 0.34715861 33.313294 19.890723
    Unten rechts KachelX + 1 77666 KachelY + 1 58144 0.58147459 0.34715861 33.316040 19.890723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34720368-0.34715861) × R
    4.50700000000359e-05 × 6371000     		dl = 287.140970000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34720368-0.34715861) × R
    4.50700000000359e-05 × 6371000     		dr = 287.140970000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58142666-0.58147459) × cos(0.34720368) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.940327890929009 × 6371000     		do = 287.140433639877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58142666-0.58147459) × cos(0.34715861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.940343225928595 × 6371000     		du = 287.14511636648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34720368)-sin(0.34715861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940327890929009-0.940343225928595)×R²
    abs(0.58147459-0.58142666)×1.53349995859475e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53349995859475e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53349995859475e-05×40589641000000     		ar = 82450.4549568871m²