Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77665 / 58015
↖ ↑ ↗
← N 20.223543°
E 33.313294°		 ← 286.54 m → N 20.223543°
E 33.316040°		 →
↑
286.57 m
↓
↑
286.57 m
↓
N 20.220966°
E 33.313294°		 ← 286.54 m →
82 113 m²		 N 20.220966°
E 33.316040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592540740966797 y=0.442623138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592540740966797 × 217)
    floor (0.592540740966797 × 131072)
    floor (77665.5)     		tx = 77665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442623138427734 × 217)
    floor (0.442623138427734 × 131072)
    floor (58015.5)     		ty = 58015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77665 / 58015 ti = "17/77665/58015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77665/58015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77665 ÷ 217
    77665 ÷ 131072     		x = 0.592536926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58015 ÷ 217
    58015 ÷ 131072     		y = 0.442619323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592536926269531 × 2 - 1) × π
    0.185073852539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58142666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442619323730469 × 2 - 1) × π
    0.114761352539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.360533422042442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58142666} λ = 0.58142666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360533422042442))-π/2
    2×atan(1.43409418801952)-π/2
    2×0.961881869792104-π/2
    1.92376373958421-1.57079632675     		φ = 0.35296741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58142666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.313294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35296741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.223543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77665 KachelY 58015 0.58142666 0.35296741 33.313294 20.223543
    Oben rechts KachelX + 1 77666 KachelY 58015 0.58147459 0.35296741 33.316040 20.223543
    Unten links KachelX 77665 KachelY + 1 58016 0.58142666 0.35292243 33.313294 20.220966
    Unten rechts KachelX + 1 77666 KachelY + 1 58016 0.58147459 0.35292243 33.316040 20.220966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35296741-0.35292243) × R
    4.49799999999723e-05 × 6371000     		dl = 286.567579999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35296741-0.35292243) × R
    4.49799999999723e-05 × 6371000     		dr = 286.567579999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58142666-0.58147459) × cos(0.35296741) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938351060127293 × 6371000     		do = 286.536784573298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58142666-0.58147459) × cos(0.35292243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93836660803527 × 6371000     		du = 286.54153231404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35296741)-sin(0.35292243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938351060127293-0.93836660803527)×R²
    abs(0.58147459-0.58142666)×1.5547907976865e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5547907976865e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5547907976865e-05×40589641000000     		ar = 82112.8332242784m²