Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77665 / 57505
↖ ↑ ↗
← N 21.532292°
E 33.313294°		 ← 284.05 m → N 21.532292°
E 33.316040°		 →
↑
284.08 m
↓
↑
284.08 m
↓
N 21.529737°
E 33.313294°		 ← 284.06 m →
80 695 m²		 N 21.529737°
E 33.316040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592540740966797 y=0.438732147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592540740966797 × 217)
    floor (0.592540740966797 × 131072)
    floor (77665.5)     		tx = 77665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438732147216797 × 217)
    floor (0.438732147216797 × 131072)
    floor (57505.5)     		ty = 57505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77665 / 57505 ti = "17/77665/57505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77665/57505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77665 ÷ 217
    77665 ÷ 131072     		x = 0.592536926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57505 ÷ 217
    57505 ÷ 131072     		y = 0.438728332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592536926269531 × 2 - 1) × π
    0.185073852539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58142666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438728332519531 × 2 - 1) × π
    0.122543334960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.384981240848671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58142666} λ = 0.58142666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.384981240848671))-π/2
    2×atan(1.46958675298227)-π/2
    2×0.973302859925683-π/2
    1.94660571985137-1.57079632675     		φ = 0.37580939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58142666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.313294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37580939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.532292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77665 KachelY 57505 0.58142666 0.37580939 33.313294 21.532292
    Oben rechts KachelX + 1 77666 KachelY 57505 0.58147459 0.37580939 33.316040 21.532292
    Unten links KachelX 77665 KachelY + 1 57506 0.58142666 0.37576480 33.313294 21.529737
    Unten rechts KachelX + 1 77666 KachelY + 1 57506 0.58147459 0.37576480 33.316040 21.529737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37580939-0.37576480) × R
    4.4590000000011e-05 × 6371000     		dl = 284.08289000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37580939-0.37576480) × R
    4.4590000000011e-05 × 6371000     		dr = 284.08289000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58142666-0.58147459) × cos(0.37580939) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930210859828948 × 6371000     		do = 284.051076485587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58142666-0.58147459) × cos(0.37576480) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930227224573579 × 6371000     		du = 284.056073657228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37580939)-sin(0.37576480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930210859828948-0.930227224573579)×R²
    abs(0.58147459-0.58142666)×1.63647446304038e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63647446304038e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63647446304038e-05×40589641000000     		ar = 80694.7605344766m²