Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77664 / 58145
↖ ↑ ↗
← N 19.888140°
E 33.310547°		 ← 287.21 m → N 19.888140°
E 33.313294°		 →
↑
287.20 m
↓
↑
287.20 m
↓
N 19.885557°
E 33.310547°		 ← 287.21 m →
82 489 m²		 N 19.885557°
E 33.313294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592533111572266 y=0.443614959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592533111572266 × 217)
    floor (0.592533111572266 × 131072)
    floor (77664.5)     		tx = 77664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443614959716797 × 217)
    floor (0.443614959716797 × 131072)
    floor (58145.5)     		ty = 58145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77664 / 58145 ti = "17/77664/58145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77664/58145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77664 ÷ 217
    77664 ÷ 131072     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58145 ÷ 217
    58145 ÷ 131072     		y = 0.443611145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443611145019531 × 2 - 1) × π
    0.112777709960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.354301625091835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354301625091835))-π/2
    2×atan(1.42518499321084)-π/2
    2×0.958954928324955-π/2
    1.91790985664991-1.57079632675     		φ = 0.34711353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34711353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.888140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77664 KachelY 58145 0.58137872 0.34711353 33.310547 19.888140
    Oben rechts KachelX + 1 77665 KachelY 58145 0.58142666 0.34711353 33.313294 19.888140
    Unten links KachelX 77664 KachelY + 1 58146 0.58137872 0.34706845 33.310547 19.885557
    Unten rechts KachelX + 1 77665 KachelY + 1 58146 0.58142666 0.34706845 33.313294 19.885557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34711353-0.34706845) × R
    4.50800000000307e-05 × 6371000     		dl = 287.204680000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34711353-0.34706845) × R
    4.50800000000307e-05 × 6371000     		dr = 287.204680000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58142666) × cos(0.34711353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940358562419906 × 6371000     		do = 287.209709792248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58142666) × cos(0.34706845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940373897000215 × 6371000     		du = 287.214393367786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34711353)-sin(0.34706845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940358562419906-0.940373897000215)×R²
    abs(0.58142666-0.58137872)×1.5334580308668e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5334580308668e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5334580308668e-05×40589641000000     		ar = 82488.6453802166m²