Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77664 / 58016
↖ ↑ ↗
← N 20.220966°
E 33.310547°		 ← 286.60 m → N 20.220966°
E 33.313294°		 →
↑
286.57 m
↓
↑
286.57 m
↓
N 20.218389°
E 33.310547°		 ← 286.61 m →
82 131 m²		 N 20.218389°
E 33.313294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592533111572266 y=0.442630767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592533111572266 × 217)
    floor (0.592533111572266 × 131072)
    floor (77664.5)     		tx = 77664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442630767822266 × 217)
    floor (0.442630767822266 × 131072)
    floor (58016.5)     		ty = 58016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77664 / 58016 ti = "17/77664/58016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77664/58016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77664 ÷ 217
    77664 ÷ 131072     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58016 ÷ 217
    58016 ÷ 131072     		y = 0.442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442626953125 × 2 - 1) × π
    0.11474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.360485485142822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360485485142822))-π/2
    2×atan(1.4340254436381)-π/2
    2×0.961859378785497-π/2
    1.92371875757099-1.57079632675     		φ = 0.35292243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35292243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.220966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77664 KachelY 58016 0.58137872 0.35292243 33.310547 20.220966
    Oben rechts KachelX + 1 77665 KachelY 58016 0.58142666 0.35292243 33.313294 20.220966
    Unten links KachelX 77664 KachelY + 1 58017 0.58137872 0.35287745 33.310547 20.218389
    Unten rechts KachelX + 1 77665 KachelY + 1 58017 0.58142666 0.35287745 33.313294 20.218389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35292243-0.35287745) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dl = 286.567580000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35292243-0.35287745) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dr = 286.567580000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58142666) × cos(0.35292243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93836660803527 × 6371000     		do = 286.601315650274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58142666) × cos(0.35287745) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938382154044743 × 6371000     		du = 286.606063801722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35292243)-sin(0.35287745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93836660803527-0.938382154044743)×R²
    abs(0.58142666-0.58137872)×1.55460094732884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55460094732884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55460094732884e-05×40589641000000     		ar = 82131.325797739m²