Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77664 / 57056
↖ ↑ ↗
← N 22.674847°
E 33.310547°		 ← 281.82 m → N 22.674847°
E 33.313294°		 →
↑
281.79 m
↓
↑
281.79 m
↓
N 22.672313°
E 33.310547°		 ← 281.82 m →
79 414 m²		 N 22.672313°
E 33.313294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592533111572266 y=0.435306549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592533111572266 × 217)
    floor (0.592533111572266 × 131072)
    floor (77664.5)     		tx = 77664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435306549072266 × 217)
    floor (0.435306549072266 × 131072)
    floor (57056.5)     		ty = 57056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77664 / 57056 ti = "17/77664/57056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77664/57056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77664 ÷ 217
    77664 ÷ 131072     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57056 ÷ 217
    57056 ÷ 131072     		y = 0.435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435302734375 × 2 - 1) × π
    0.12939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.406504908778076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406504908778076))-π/2
    2×atan(1.50156051217507)-π/2
    2×0.983273535224765-π/2
    1.96654707044953-1.57079632675     		φ = 0.39575074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39575074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.674847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77664 KachelY 57056 0.58137872 0.39575074 33.310547 22.674847
    Oben rechts KachelX + 1 77665 KachelY 57056 0.58142666 0.39575074 33.313294 22.674847
    Unten links KachelX 77664 KachelY + 1 57057 0.58137872 0.39570651 33.310547 22.672313
    Unten rechts KachelX + 1 77665 KachelY + 1 57057 0.58142666 0.39570651 33.313294 22.672313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39575074-0.39570651) × R
    4.42299999999785e-05 × 6371000     		dl = 281.789329999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39575074-0.39570651) × R
    4.42299999999785e-05 × 6371000     		dr = 281.789329999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58142666) × cos(0.39575074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922707413385301 × 6371000     		do = 281.818594536507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58142666) × cos(0.39570651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922724463192458 × 6371000     		du = 281.823801986474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39575074)-sin(0.39570651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922707413385301-0.922724463192458)×R²
    abs(0.58142666-0.58137872)×1.7049807156555e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7049807156555e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7049807156555e-05×40589641000000     		ar = 79414.2066508233m²