Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77662 / 57506
↖ ↑ ↗
← N 21.529737°
E 33.305053°		 ← 284.12 m → N 21.529737°
E 33.307800°		 →
↑
284.08 m
↓
↑
284.08 m
↓
N 21.527182°
E 33.305053°		 ← 284.12 m →
80 713 m²		 N 21.527182°
E 33.307800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592517852783203 y=0.438739776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592517852783203 × 217)
    floor (0.592517852783203 × 131072)
    floor (77662.5)     		tx = 77662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438739776611328 × 217)
    floor (0.438739776611328 × 131072)
    floor (57506.5)     		ty = 57506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77662 / 57506 ti = "17/77662/57506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77662/57506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77662 ÷ 217
    77662 ÷ 131072     		x = 0.592514038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57506 ÷ 217
    57506 ÷ 131072     		y = 0.438735961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592514038085938 × 2 - 1) × π
    0.185028076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58128284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438735961914062 × 2 - 1) × π
    0.122528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.384933303949051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58128284} λ = 0.58128284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.384933303949051))-π/2
    2×atan(1.4695163072381)-π/2
    2×0.973280564017274-π/2
    1.94656112803455-1.57079632675     		φ = 0.37576480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58128284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.305053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37576480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.529737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77662 KachelY 57506 0.58128284 0.37576480 33.305053 21.529737
    Oben rechts KachelX + 1 77663 KachelY 57506 0.58133078 0.37576480 33.307800 21.529737
    Unten links KachelX 77662 KachelY + 1 57507 0.58128284 0.37572021 33.305053 21.527182
    Unten rechts KachelX + 1 77663 KachelY + 1 57507 0.58133078 0.37572021 33.307800 21.527182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37576480-0.37572021) × R
    4.4590000000011e-05 × 6371000     		dl = 284.08289000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37576480-0.37572021) × R
    4.4590000000011e-05 × 6371000     		dr = 284.08289000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58128284-0.58133078) × cos(0.37576480) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930227224573579 × 6371000     		do = 284.115338434003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58128284-0.58133078) × cos(0.37572021) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930243587468668 × 6371000     		du = 284.120336083344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37576480)-sin(0.37572021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930227224573579-0.930243587468668)×R²
    abs(0.58133078-0.58128284)×1.6362895089328e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.6362895089328e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.6362895089328e-05×40589641000000     		ar = 80713.0163223394m²