Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77661 / 58027
↖ ↑ ↗
← N 20.192613°
E 33.302307°		 ← 286.59 m → N 20.192613°
E 33.305053°		 →
↑
286.63 m
↓
↑
286.63 m
↓
N 20.190035°
E 33.302307°		 ← 286.60 m →
82 147 m²		 N 20.190035°
E 33.305053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592510223388672 y=0.442714691162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592510223388672 × 217)
    floor (0.592510223388672 × 131072)
    floor (77661.5)     		tx = 77661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442714691162109 × 217)
    floor (0.442714691162109 × 131072)
    floor (58027.5)     		ty = 58027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77661 / 58027 ti = "17/77661/58027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77661/58027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77661 ÷ 217
    77661 ÷ 131072     		x = 0.592506408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58027 ÷ 217
    58027 ÷ 131072     		y = 0.442710876464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592506408691406 × 2 - 1) × π
    0.185012817382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58123491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442710876464844 × 2 - 1) × π
    0.114578247070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.359958179247002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58123491} λ = 0.58123491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359958179247002))-π/2
    2×atan(1.43326947289834)-π/2
    2×0.961611953126163-π/2
    1.92322390625233-1.57079632675     		φ = 0.35242758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58123491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.302307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35242758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.192613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77661 KachelY 58027 0.58123491 0.35242758 33.302307 20.192613
    Oben rechts KachelX + 1 77662 KachelY 58027 0.58128284 0.35242758 33.305053 20.192613
    Unten links KachelX 77661 KachelY + 1 58028 0.58123491 0.35238259 33.302307 20.190035
    Unten rechts KachelX + 1 77662 KachelY + 1 58028 0.58128284 0.35238259 33.305053 20.190035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35242758-0.35238259) × R
    4.49900000000225e-05 × 6371000     		dl = 286.631290000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35242758-0.35238259) × R
    4.49900000000225e-05 × 6371000     		dr = 286.631290000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58123491-0.58128284) × cos(0.35242758) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.938537533877261 × 6371000     		do = 286.593726575466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58123491-0.58128284) × cos(0.35238259) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.938553062449513 × 6371000     		du = 286.598468411812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35242758)-sin(0.35238259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938537533877261-0.938553062449513)×R²
    abs(0.58128284-0.58123491)×1.5528572252177e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.5528572252177e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.5528572252177e-05×40589641000000     		ar = 82147.4091474977m²