Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77661 / 57515
↖ ↑ ↗
← N 21.506741°
E 33.302307°		 ← 284.10 m → N 21.506741°
E 33.305053°		 →
↑
284.15 m
↓
↑
284.15 m
↓
N 21.504186°
E 33.302307°		 ← 284.11 m →
80 727 m²		 N 21.504186°
E 33.305053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592510223388672 y=0.438808441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592510223388672 × 217)
    floor (0.592510223388672 × 131072)
    floor (77661.5)     		tx = 77661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438808441162109 × 217)
    floor (0.438808441162109 × 131072)
    floor (57515.5)     		ty = 57515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77661 / 57515 ti = "17/77661/57515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77661/57515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77661 ÷ 217
    77661 ÷ 131072     		x = 0.592506408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57515 ÷ 217
    57515 ÷ 131072     		y = 0.438804626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592506408691406 × 2 - 1) × π
    0.185012817382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58123491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438804626464844 × 2 - 1) × π
    0.122390747070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.38450187185247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58123491} λ = 0.58123491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38450187185247))-π/2
    2×atan(1.46888244748027)-π/2
    2×0.973079883195514-π/2
    1.94615976639103-1.57079632675     		φ = 0.37536344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58123491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.302307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37536344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.506741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77661 KachelY 57515 0.58123491 0.37536344 33.302307 21.506741
    Oben rechts KachelX + 1 77662 KachelY 57515 0.58128284 0.37536344 33.305053 21.506741
    Unten links KachelX 77661 KachelY + 1 57516 0.58123491 0.37531884 33.302307 21.504186
    Unten rechts KachelX + 1 77662 KachelY + 1 57516 0.58128284 0.37531884 33.305053 21.504186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37536344-0.37531884) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dl = 284.146600000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37536344-0.37531884) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dr = 284.146600000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58123491-0.58128284) × cos(0.37536344) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.930374442372534 × 6371000     		do = 284.101028382511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58123491-0.58128284) × cos(0.37531884) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.930390792283908 × 6371000     		du = 284.106021024638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37536344)-sin(0.37531884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930374442372534-0.930390792283908)×R²
    abs(0.58128284-0.58123491)×1.63499113734478e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.63499113734478e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.63499113734478e-05×40589641000000     		ar = 80727.0506059165m²