Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77661 / 57125
↖ ↑ ↗
← N 22.499870°
E 33.302307°		 ← 282.12 m → N 22.499870°
E 33.305053°		 →
↑
282.17 m
↓
↑
282.17 m
↓
N 22.497332°
E 33.302307°		 ← 282.12 m →
79 606 m²		 N 22.497332°
E 33.305053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592510223388672 y=0.435832977294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592510223388672 × 217)
    floor (0.592510223388672 × 131072)
    floor (77661.5)     		tx = 77661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435832977294922 × 217)
    floor (0.435832977294922 × 131072)
    floor (57125.5)     		ty = 57125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77661 / 57125 ti = "17/77661/57125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77661/57125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77661 ÷ 217
    77661 ÷ 131072     		x = 0.592506408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57125 ÷ 217
    57125 ÷ 131072     		y = 0.435829162597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592506408691406 × 2 - 1) × π
    0.185012817382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58123491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435829162597656 × 2 - 1) × π
    0.128341674804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.403197262704292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58123491} λ = 0.58123491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403197262704292))-π/2
    2×atan(1.49660208632197)-π/2
    2×0.981746569511003-π/2
    1.96349313902201-1.57079632675     		φ = 0.39269681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58123491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.302307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39269681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.499870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77661 KachelY 57125 0.58123491 0.39269681 33.302307 22.499870
    Oben rechts KachelX + 1 77662 KachelY 57125 0.58128284 0.39269681 33.305053 22.499870
    Unten links KachelX 77661 KachelY + 1 57126 0.58123491 0.39265252 33.302307 22.497332
    Unten rechts KachelX + 1 77662 KachelY + 1 57126 0.58128284 0.39265252 33.305053 22.497332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39269681-0.39265252) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dl = 282.171590000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39269681-0.39265252) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dr = 282.171590000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58123491-0.58128284) × cos(0.39269681) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.923880401850368 × 6371000     		do = 282.117994985763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58123491-0.58128284) × cos(0.39265252) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.923897349900483 × 6371000     		du = 282.123170276751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39269681)-sin(0.39265252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923880401850368-0.923897349900483)×R²
    abs(0.58128284-0.58123491)×1.69480501153174e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.69480501153174e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.69480501153174e-05×40589641000000     		ar = 79606.4133857969m²