Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77660 / 58140
↖ ↑ ↗
← N 19.901054°
E 33.299560°		 ← 287.19 m → N 19.901054°
E 33.302307°		 →
↑
287.14 m
↓
↑
287.14 m
↓
N 19.898471°
E 33.299560°		 ← 287.19 m →
82 464 m²		 N 19.898471°
E 33.302307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592502593994141 y=0.443576812744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592502593994141 × 217)
    floor (0.592502593994141 × 131072)
    floor (77660.5)     		tx = 77660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443576812744141 × 217)
    floor (0.443576812744141 × 131072)
    floor (58140.5)     		ty = 58140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77660 / 58140 ti = "17/77660/58140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77660/58140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77660 ÷ 217
    77660 ÷ 131072     		x = 0.592498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58140 ÷ 217
    58140 ÷ 131072     		y = 0.443572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592498779296875 × 2 - 1) × π
    0.18499755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58118697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443572998046875 × 2 - 1) × π
    0.11285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.354541309589935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58118697} λ = 0.58118697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354541309589935))-π/2
    2×atan(1.42552662890139)-π/2
    2×0.95906761841477-π/2
    1.91813523682954-1.57079632675     		φ = 0.34733891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58118697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.299560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34733891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.901054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77660 KachelY 58140 0.58118697 0.34733891 33.299560 19.901054
    Oben rechts KachelX + 1 77661 KachelY 58140 0.58123491 0.34733891 33.302307 19.901054
    Unten links KachelX 77660 KachelY + 1 58141 0.58118697 0.34729384 33.299560 19.898471
    Unten rechts KachelX + 1 77661 KachelY + 1 58141 0.58123491 0.34729384 33.302307 19.898471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34733891-0.34729384) × R
    4.50699999999804e-05 × 6371000     		dl = 287.140969999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34733891-0.34729384) × R
    4.50699999999804e-05 × 6371000     		dr = 287.140969999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58118697-0.58123491) × cos(0.34733891) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.940281867661883 × 6371000     		do = 287.18628523969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58118697-0.58123491) × cos(0.34729384) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.940297208392501 × 6371000     		du = 287.190970693691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34733891)-sin(0.34729384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940281867661883-0.940297208392501)×R²
    abs(0.58123491-0.58118697)×1.53407306180409e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.53407306180409e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.53407306180409e-05×40589641000000     		ar = 82463.621221259m²