Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77660 / 58026
↖ ↑ ↗
← N 20.195191°
E 33.299560°		 ← 286.65 m → N 20.195191°
E 33.302307°		 →
↑
286.63 m
↓
↑
286.63 m
↓
N 20.192613°
E 33.299560°		 ← 286.65 m →
82 163 m²		 N 20.192613°
E 33.302307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592502593994141 y=0.442707061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592502593994141 × 217)
    floor (0.592502593994141 × 131072)
    floor (77660.5)     		tx = 77660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442707061767578 × 217)
    floor (0.442707061767578 × 131072)
    floor (58026.5)     		ty = 58026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77660 / 58026 ti = "17/77660/58026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77660/58026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77660 ÷ 217
    77660 ÷ 131072     		x = 0.592498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58026 ÷ 217
    58026 ÷ 131072     		y = 0.442703247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592498779296875 × 2 - 1) × π
    0.18499755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58118697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442703247070312 × 2 - 1) × π
    0.114593505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.360006116146622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58118697} λ = 0.58118697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360006116146622))-π/2
    2×atan(1.43333818104001)-π/2
    2×0.961634448229824-π/2
    1.92326889645965-1.57079632675     		φ = 0.35247257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58118697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.299560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35247257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.195191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77660 KachelY 58026 0.58118697 0.35247257 33.299560 20.195191
    Oben rechts KachelX + 1 77661 KachelY 58026 0.58123491 0.35247257 33.302307 20.195191
    Unten links KachelX 77660 KachelY + 1 58027 0.58118697 0.35242758 33.299560 20.192613
    Unten rechts KachelX + 1 77661 KachelY + 1 58027 0.58123491 0.35242758 33.302307 20.192613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35247257-0.35242758) × R
    4.4989999999967e-05 × 6371000     		dl = 286.63128999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35247257-0.35242758) × R
    4.4989999999967e-05 × 6371000     		dr = 286.63128999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58118697-0.58123491) × cos(0.35247257) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938522003405315 × 6371000     		do = 286.648777396827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58118697-0.58123491) × cos(0.35242758) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938537533877261 × 6371000     		du = 286.653520802713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35247257)-sin(0.35242758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938522003405315-0.938537533877261)×R²
    abs(0.58123491-0.58118697)×1.55304719461347e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.55304719461347e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.55304719461347e-05×40589641000000     		ar = 82163.188660214m²