Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7766 / 4936
↖ ↑ ↗
← N 57.984808°
W  9.360351°		 ← 1 295.26 m → N 57.984808°
W  9.338379°		 →
↑
1 295.48 m
↓
↑
1 295.48 m
↓
N 57.973158°
W  9.360351°		 ← 1 295.68 m →
1 678 250 m²		 N 57.973158°
W  9.338379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474029541015625 y=0.301300048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474029541015625 × 214)
    floor (0.474029541015625 × 16384)
    floor (7766.5)     		tx = 7766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301300048828125 × 214)
    floor (0.301300048828125 × 16384)
    floor (4936.5)     		ty = 4936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7766 / 4936 ti = "14/7766/4936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7766/4936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7766 ÷ 214
    7766 ÷ 16384     		x = 0.4739990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4936 ÷ 214
    4936 ÷ 16384     		y = 0.30126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4739990234375 × 2 - 1) × π
    -0.052001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16336895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30126953125 × 2 - 1) × π
    0.3974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24866036130322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16336895} λ = -0.16336895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24866036130322))-π/2
    2×atan(3.48567028951321)-π/2
    2×1.29141107142426-π/2
    2.58282214284852-1.57079632675     		φ = 1.01202582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16336895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.360351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01202582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.984808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7766 KachelY 4936 -0.16336895 1.01202582 -9.360351 57.984808
    Oben rechts KachelX + 1 7767 KachelY 4936 -0.16298546 1.01202582 -9.338379 57.984808
    Unten links KachelX 7766 KachelY + 1 4937 -0.16336895 1.01182248 -9.360351 57.973158
    Unten rechts KachelX + 1 7767 KachelY + 1 4937 -0.16298546 1.01182248 -9.338379 57.973158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01202582-1.01182248) × R
    0.000203340000000107 × 6371000     		dl = 1295.47914000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01202582-1.01182248) × R
    0.000203340000000107 × 6371000     		dr = 1295.47914000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16336895--0.16298546) × cos(1.01202582) × R
    0.000383490000000014 × 0.530144102296652 × 6371000     		do = 1295.2559115625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16336895--0.16298546) × cos(1.01182248) × R
    0.000383490000000014 × 0.530316504858798 × 6371000     		du = 1295.67712805217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01202582)-sin(1.01182248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530144102296652-0.530316504858798)×R²
    abs(-0.16298546--0.16336895)×0.000172402562146456×R²
    0.000383490000000014×0.000172402562146456×6371000²
    0.000383490000000014×0.000172402562146456×40589641000000     		ar = 1678249.85876232m²