Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77658 / 57310
↖ ↑ ↗
← N 22.029638°
E 33.294068°		 ← 283.07 m → N 22.029638°
E 33.296814°		 →
↑
283.06 m
↓
↑
283.06 m
↓
N 22.027092°
E 33.294068°		 ← 283.07 m →
80 127 m²		 N 22.027092°
E 33.296814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592487335205078 y=0.437244415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592487335205078 × 217)
    floor (0.592487335205078 × 131072)
    floor (77658.5)     		tx = 77658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437244415283203 × 217)
    floor (0.437244415283203 × 131072)
    floor (57310.5)     		ty = 57310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77658 / 57310 ti = "17/77658/57310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77658/57310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77658 ÷ 217
    77658 ÷ 131072     		x = 0.592483520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57310 ÷ 217
    57310 ÷ 131072     		y = 0.437240600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592483520507812 × 2 - 1) × π
    0.184967041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58109110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437240600585938 × 2 - 1) × π
    0.125518798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.394328936274582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58109110} λ = 0.58109110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394328936274582))-π/2
    2×atan(1.48338840868984)-π/2
    2×0.97764301971424-π/2
    1.95528603942848-1.57079632675     		φ = 0.38448971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58109110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.294068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38448971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.029638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77658 KachelY 57310 0.58109110 0.38448971 33.294068 22.029638
    Oben rechts KachelX + 1 77659 KachelY 57310 0.58113903 0.38448971 33.296814 22.029638
    Unten links KachelX 77658 KachelY + 1 57311 0.58109110 0.38444528 33.294068 22.027092
    Unten rechts KachelX + 1 77659 KachelY + 1 57311 0.58113903 0.38444528 33.296814 22.027092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38448971-0.38444528) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dl = 283.063529999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38448971-0.38444528) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dr = 283.063529999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58109110-0.58113903) × cos(0.38448971) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926989956069512 × 6371000     		do = 283.06753477517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58109110-0.58113903) × cos(0.38444528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927006620232285 × 6371000     		du = 283.072623377743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38448971)-sin(0.38444528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926989956069512-0.927006620232285)×R²
    abs(0.58113903-0.58109110)×1.66641627726838e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66641627726838e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66641627726838e-05×40589641000000     		ar = 80126.8158339038m²