Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77658 / 57210
↖ ↑ ↗
← N 22.284014°
E 33.294068°		 ← 282.56 m → N 22.284014°
E 33.296814°		 →
↑
282.62 m
↓
↑
282.62 m
↓
N 22.281472°
E 33.294068°		 ← 282.56 m →
79 856 m²		 N 22.281472°
E 33.296814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592487335205078 y=0.436481475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592487335205078 × 217)
    floor (0.592487335205078 × 131072)
    floor (77658.5)     		tx = 77658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436481475830078 × 217)
    floor (0.436481475830078 × 131072)
    floor (57210.5)     		ty = 57210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77658 / 57210 ti = "17/77658/57210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77658/57210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77658 ÷ 217
    77658 ÷ 131072     		x = 0.592483520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57210 ÷ 217
    57210 ÷ 131072     		y = 0.436477661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592483520507812 × 2 - 1) × π
    0.184967041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58109110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436477661132812 × 2 - 1) × π
    0.127044677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.399122626236588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58109110} λ = 0.58109110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399122626236588))-π/2
    2×atan(1.49051638381599)-π/2
    2×0.979862867340167-π/2
    1.95972573468033-1.57079632675     		φ = 0.38892941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58109110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.294068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38892941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.284014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77658 KachelY 57210 0.58109110 0.38892941 33.294068 22.284014
    Oben rechts KachelX + 1 77659 KachelY 57210 0.58113903 0.38892941 33.296814 22.284014
    Unten links KachelX 77658 KachelY + 1 57211 0.58109110 0.38888505 33.294068 22.281472
    Unten rechts KachelX + 1 77659 KachelY + 1 57211 0.58113903 0.38888505 33.296814 22.281472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38892941-0.38888505) × R
    4.43599999999655e-05 × 6371000     		dl = 282.61755999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38892941-0.38888505) × R
    4.43599999999655e-05 × 6371000     		dr = 282.61755999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58109110-0.58113903) × cos(0.38892941) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92531555564671 × 6371000     		do = 282.55623646303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58109110-0.58113903) × cos(0.38888505) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92533237595952 × 6371000     		du = 282.561372747895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38892941)-sin(0.38888505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92531555564671-0.92533237595952)×R²
    abs(0.58113903-0.58109110)×1.68203128095845e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68203128095845e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68203128095845e-05×40589641000000     		ar = 79856.079927202m²