Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77657 / 60441
↖ ↑ ↗
← N 13.856747°
E 33.291321°		 ← 296.54 m → N 13.856747°
E 33.294068°		 →
↑
296.51 m
↓
↑
296.51 m
↓
N 13.854081°
E 33.291321°		 ← 296.54 m →
87 926 m²		 N 13.854081°
E 33.294068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592479705810547 y=0.461132049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592479705810547 × 217)
    floor (0.592479705810547 × 131072)
    floor (77657.5)     		tx = 77657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461132049560547 × 217)
    floor (0.461132049560547 × 131072)
    floor (60441.5)     		ty = 60441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77657 / 60441 ti = "17/77657/60441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77657/60441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77657 ÷ 217
    77657 ÷ 131072     		x = 0.592475891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60441 ÷ 217
    60441 ÷ 131072     		y = 0.461128234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592475891113281 × 2 - 1) × π
    0.184951782226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58104316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461128234863281 × 2 - 1) × π
    0.0777435302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.244238503564186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58104316} λ = 0.58104316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244238503564186))-π/2
    2×atan(1.27664877946605)-π/2
    2×0.906321094824313-π/2
    1.81264218964863-1.57079632675     		φ = 0.24184586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58104316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.291321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24184586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.856747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77657 KachelY 60441 0.58104316 0.24184586 33.291321 13.856747
    Oben rechts KachelX + 1 77658 KachelY 60441 0.58109110 0.24184586 33.294068 13.856747
    Unten links KachelX 77657 KachelY + 1 60442 0.58104316 0.24179932 33.291321 13.854081
    Unten rechts KachelX + 1 77658 KachelY + 1 60442 0.58109110 0.24179932 33.294068 13.854081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24184586-0.24179932) × R
    4.65399999999838e-05 × 6371000     		dl = 296.506339999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24184586-0.24179932) × R
    4.65399999999838e-05 × 6371000     		dr = 296.506339999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58104316-0.58109110) × cos(0.24184586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970897554560687 × 6371000     		do = 296.537104065694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58104316-0.58109110) × cos(0.24179932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97090869961463 × 6371000     		du = 296.540508052042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24184586)-sin(0.24179932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970897554560687-0.97090869961463)×R²
    abs(0.58109110-0.58104316)×1.11450539430624e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11450539430624e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11450539430624e-05×40589641000000     		ar = 87925.6360683442m²