Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77656 / 83720
↖ ↑ ↗
← S 44.606113°
E 33.288574°		 ← 217.45 m → S 44.606113°
E 33.291321°		 →
↑
217.44 m
↓
↑
217.44 m
↓
S 44.608068°
E 33.288574°		 ← 217.44 m →
47 282 m²		 S 44.608068°
E 33.291321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592472076416016 y=0.638736724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592472076416016 × 217)
    floor (0.592472076416016 × 131072)
    floor (77656.5)     		tx = 77656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638736724853516 × 217)
    floor (0.638736724853516 × 131072)
    floor (83720.5)     		ty = 83720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77656 / 83720 ti = "17/77656/83720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77656/83720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77656 ÷ 217
    77656 ÷ 131072     		x = 0.59246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83720 ÷ 217
    83720 ÷ 131072     		y = 0.63873291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59246826171875 × 2 - 1) × π
    0.1849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58099522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63873291015625 × 2 - 1) × π
    -0.2774658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.871684582691101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58099522} λ = 0.58099522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871684582691101))-π/2
    2×atan(0.418246384840005)-π/2
    2×0.396136396446772-π/2
    0.792272792893543-1.57079632675     		φ = -0.77852353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58099522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.288574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77852353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.606113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77656 KachelY 83720 0.58099522 -0.77852353 33.288574 -44.606113
    Oben rechts KachelX + 1 77657 KachelY 83720 0.58104316 -0.77852353 33.291321 -44.606113
    Unten links KachelX 77656 KachelY + 1 83721 0.58099522 -0.77855766 33.288574 -44.608068
    Unten rechts KachelX + 1 77657 KachelY + 1 83721 0.58104316 -0.77855766 33.291321 -44.608068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77852353--0.77855766) × R
    3.41300000000766e-05 × 6371000     		dl = 217.442230000488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77852353--0.77855766) × R
    3.41300000000766e-05 × 6371000     		dr = 217.442230000488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58099522-0.58104316) × cos(-0.77852353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.711951133716377 × 6371000     		do = 217.448201859021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58099522-0.58104316) × cos(-0.77855766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.711927166225592 × 6371000     		du = 217.440881570412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77852353)-sin(-0.77855766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711951133716377-0.711927166225592)×R²
    abs(0.58104316-0.58099522)×2.39674907847043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39674907847043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39674907847043e-05×40589641000000     		ar = 47281.6260565544m²