Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77655 / 58167
↖ ↑ ↗
← N 19.831309°
E 33.285828°		 ← 287.25 m → N 19.831309°
E 33.288574°		 →
↑
287.33 m
↓
↑
287.33 m
↓
N 19.828725°
E 33.285828°		 ← 287.26 m →
82 538 m²		 N 19.828725°
E 33.288574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592464447021484 y=0.443782806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592464447021484 × 217)
    floor (0.592464447021484 × 131072)
    floor (77655.5)     		tx = 77655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443782806396484 × 217)
    floor (0.443782806396484 × 131072)
    floor (58167.5)     		ty = 58167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77655 / 58167 ti = "17/77655/58167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77655/58167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77655 ÷ 217
    77655 ÷ 131072     		x = 0.592460632324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58167 ÷ 217
    58167 ÷ 131072     		y = 0.443778991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592460632324219 × 2 - 1) × π
    0.184921264648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58094729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443778991699219 × 2 - 1) × π
    0.112442016601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.353247013300194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58094729} λ = 0.58094729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353247013300194))-π/2
    2×atan(1.42368276858287)-π/2
    2×0.958458982833949-π/2
    1.9169179656679-1.57079632675     		φ = 0.34612164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58094729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.285828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34612164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.831309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77655 KachelY 58167 0.58094729 0.34612164 33.285828 19.831309
    Oben rechts KachelX + 1 77656 KachelY 58167 0.58099522 0.34612164 33.288574 19.831309
    Unten links KachelX 77655 KachelY + 1 58168 0.58094729 0.34607654 33.285828 19.828725
    Unten rechts KachelX + 1 77656 KachelY + 1 58168 0.58099522 0.34607654 33.288574 19.828725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34612164-0.34607654) × R
    4.51000000000201e-05 × 6371000     		dl = 287.332100000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34612164-0.34607654) × R
    4.51000000000201e-05 × 6371000     		dr = 287.332100000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58094729-0.58099522) × cos(0.34612164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.940695525792689 × 6371000     		do = 287.252695368149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58094729-0.58099522) × cos(0.34607654) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.94071082510174 × 6371000     		du = 287.257367196218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34612164)-sin(0.34607654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940695525792689-0.94071082510174)×R²
    abs(0.58099522-0.58094729)×1.52993090510867e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52993090510867e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52993090510867e-05×40589641000000     		ar = 82537.5913879125m²