Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77650 / 58963
↖ ↑ ↗
← N 17.761766°
E 33.272095°		 ← 290.87 m → N 17.761766°
E 33.274841°		 →
↑
290.84 m
↓
↑
290.84 m
↓
N 17.759150°
E 33.272095°		 ← 290.87 m →
84 595 m²		 N 17.759150°
E 33.274841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592426300048828 y=0.449855804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592426300048828 × 217)
    floor (0.592426300048828 × 131072)
    floor (77650.5)     		tx = 77650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449855804443359 × 217)
    floor (0.449855804443359 × 131072)
    floor (58963.5)     		ty = 58963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77650 / 58963 ti = "17/77650/58963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77650/58963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77650 ÷ 217
    77650 ÷ 131072     		x = 0.592422485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58963 ÷ 217
    58963 ÷ 131072     		y = 0.449851989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592422485351562 × 2 - 1) × π
    0.184844970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58070760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449851989746094 × 2 - 1) × π
    0.100296020507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.315089241202629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58070760} λ = 0.58070760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.315089241202629))-π/2
    2×atan(1.37038160000235)-π/2
    2×0.940398807303248-π/2
    1.8807976146065-1.57079632675     		φ = 0.31000129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58070760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.272095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31000129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.761766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77650 KachelY 58963 0.58070760 0.31000129 33.272095 17.761766
    Oben rechts KachelX + 1 77651 KachelY 58963 0.58075554 0.31000129 33.274841 17.761766
    Unten links KachelX 77650 KachelY + 1 58964 0.58070760 0.30995564 33.272095 17.759150
    Unten rechts KachelX + 1 77651 KachelY + 1 58964 0.58075554 0.30995564 33.274841 17.759150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31000129-0.30995564) × R
    4.56500000000082e-05 × 6371000     		dl = 290.836150000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31000129-0.30995564) × R
    4.56500000000082e-05 × 6371000     		dr = 290.836150000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58070760-0.58075554) × cos(0.31000129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95233317635928 × 6371000     		do = 290.867065115893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58070760-0.58075554) × cos(0.30995564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952347101349816 × 6371000     		du = 290.871318166432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31000129)-sin(0.30995564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95233317635928-0.952347101349816)×R²
    abs(0.58075554-0.58070760)×1.39249905359851e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39249905359851e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39249905359851e-05×40589641000000     		ar = 84595.2758651975m²