Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77649 / 57422
↖ ↑ ↗
← N 21.744194°
E 33.269348°		 ← 283.63 m → N 21.744194°
E 33.272095°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.741643°
E 33.269348°		 ← 283.64 m →
80 450 m²		 N 21.741643°
E 33.272095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592418670654297 y=0.438098907470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592418670654297 × 217)
    floor (0.592418670654297 × 131072)
    floor (77649.5)     		tx = 77649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438098907470703 × 217)
    floor (0.438098907470703 × 131072)
    floor (57422.5)     		ty = 57422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77649 / 57422 ti = "17/77649/57422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77649/57422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77649 ÷ 217
    77649 ÷ 131072     		x = 0.592414855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57422 ÷ 217
    57422 ÷ 131072     		y = 0.438095092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592414855957031 × 2 - 1) × π
    0.184829711914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58065967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438095092773438 × 2 - 1) × π
    0.123809814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.388960003517136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58065967} λ = 0.58065967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388960003517136))-π/2
    2×atan(1.47544553752073)-π/2
    2×0.975152049303478-π/2
    1.95030409860696-1.57079632675     		φ = 0.37950777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58065967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.269348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37950777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.744194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77649 KachelY 57422 0.58065967 0.37950777 33.269348 21.744194
    Oben rechts KachelX + 1 77650 KachelY 57422 0.58070760 0.37950777 33.272095 21.744194
    Unten links KachelX 77649 KachelY + 1 57423 0.58065967 0.37946325 33.269348 21.741643
    Unten rechts KachelX + 1 77650 KachelY + 1 57423 0.58070760 0.37946325 33.272095 21.741643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37950777-0.37946325) × R
    4.45200000000479e-05 × 6371000     		dl = 283.636920000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37950777-0.37946325) × R
    4.45200000000479e-05 × 6371000     		dr = 283.636920000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58065967-0.58070760) × cos(0.37950777) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928847101248548 × 6371000     		do = 283.634636397046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58065967-0.58070760) × cos(0.37946325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928863593354509 × 6371000     		du = 283.639672460001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37950777)-sin(0.37946325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928847101248548-0.928863593354509)×R²
    abs(0.58070760-0.58065967)×1.64921059607748e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64921059607748e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64921059607748e-05×40589641000000     		ar = 80449.9688929985m²