Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77646 / 58960
↖ ↑ ↗
← N 17.769612°
E 33.261108°		 ← 290.85 m → N 17.769612°
E 33.263855°		 →
↑
290.84 m
↓
↑
290.84 m
↓
N 17.766997°
E 33.261108°		 ← 290.86 m →
84 592 m²		 N 17.766997°
E 33.263855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592395782470703 y=0.449832916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592395782470703 × 217)
    floor (0.592395782470703 × 131072)
    floor (77646.5)     		tx = 77646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449832916259766 × 217)
    floor (0.449832916259766 × 131072)
    floor (58960.5)     		ty = 58960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77646 / 58960 ti = "17/77646/58960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77646/58960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77646 ÷ 217
    77646 ÷ 131072     		x = 0.592391967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58960 ÷ 217
    58960 ÷ 131072     		y = 0.4498291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592391967773438 × 2 - 1) × π
    0.184783935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58051585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4498291015625 × 2 - 1) × π
    0.100341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.315233051901489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58051585} λ = 0.58051585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.315233051901489))-π/2
    2×atan(1.37057868970942)-π/2
    2×0.940467283650832-π/2
    1.88093456730166-1.57079632675     		φ = 0.31013824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58051585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.261108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31013824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.769612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77646 KachelY 58960 0.58051585 0.31013824 33.261108 17.769612
    Oben rechts KachelX + 1 77647 KachelY 58960 0.58056379 0.31013824 33.263855 17.769612
    Unten links KachelX 77646 KachelY + 1 58961 0.58051585 0.31009259 33.261108 17.766997
    Unten rechts KachelX + 1 77647 KachelY + 1 58961 0.58056379 0.31009259 33.263855 17.766997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31013824-0.31009259) × R
    4.56500000000082e-05 × 6371000     		dl = 290.836150000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31013824-0.31009259) × R
    4.56500000000082e-05 × 6371000     		dr = 290.836150000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58051585-0.58056379) × cos(0.31013824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952291389480257 × 6371000     		do = 290.854302327445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58051585-0.58056379) × cos(0.31009259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952305320424471 × 6371000     		du = 290.858557196391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31013824)-sin(0.31009259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952291389480257-0.952305320424471)×R²
    abs(0.58056379-0.58051585)×1.39309442145352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39309442145352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39309442145352e-05×40589641000000     		ar = 84591.5642494412m²