Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77645 / 57445
↖ ↑ ↗
← N 21.685505°
E 33.258362°		 ← 283.75 m → N 21.685505°
E 33.261108°		 →
↑
283.76 m
↓
↑
283.76 m
↓
N 21.682953°
E 33.258362°		 ← 283.76 m →
80 519 m²		 N 21.682953°
E 33.261108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592388153076172 y=0.438274383544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592388153076172 × 217)
    floor (0.592388153076172 × 131072)
    floor (77645.5)     		tx = 77645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438274383544922 × 217)
    floor (0.438274383544922 × 131072)
    floor (57445.5)     		ty = 57445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77645 / 57445 ti = "17/77645/57445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77645/57445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77645 ÷ 217
    77645 ÷ 131072     		x = 0.592384338378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57445 ÷ 217
    57445 ÷ 131072     		y = 0.438270568847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592384338378906 × 2 - 1) × π
    0.184768676757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58046792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438270568847656 × 2 - 1) × π
    0.123458862304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.387857454825874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58046792} λ = 0.58046792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387857454825874))-π/2
    2×atan(1.47381968343066)-π/2
    2×0.97463989522692-π/2
    1.94927979045384-1.57079632675     		φ = 0.37848346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58046792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.258362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37848346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.685505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77645 KachelY 57445 0.58046792 0.37848346 33.258362 21.685505
    Oben rechts KachelX + 1 77646 KachelY 57445 0.58051585 0.37848346 33.261108 21.685505
    Unten links KachelX 77645 KachelY + 1 57446 0.58046792 0.37843892 33.258362 21.682953
    Unten rechts KachelX + 1 77646 KachelY + 1 57446 0.58051585 0.37843892 33.261108 21.682953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37848346-0.37843892) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dl = 283.764339999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37848346-0.37843892) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dr = 283.764339999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58046792-0.58051585) × cos(0.37848346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929226083174865 × 6371000     		do = 283.750363087399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58046792-0.58051585) × cos(0.37843892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929242540303664 × 6371000     		du = 283.755388469657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37848346)-sin(0.37843892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929226083174865-0.929242540303664)×R²
    abs(0.58051585-0.58046792)×1.64571287997184e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64571287997184e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64571287997184e-05×40589641000000     		ar = 80518.9475316982m²