Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77645 / 57431
↖ ↑ ↗
← N 21.721232°
E 33.258362°		 ← 283.68 m → N 21.721232°
E 33.261108°		 →
↑
283.76 m
↓
↑
283.76 m
↓
N 21.718680°
E 33.258362°		 ← 283.68 m →
80 499 m²		 N 21.718680°
E 33.261108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592388153076172 y=0.438167572021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592388153076172 × 217)
    floor (0.592388153076172 × 131072)
    floor (77645.5)     		tx = 77645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438167572021484 × 217)
    floor (0.438167572021484 × 131072)
    floor (57431.5)     		ty = 57431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77645 / 57431 ti = "17/77645/57431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77645/57431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77645 ÷ 217
    77645 ÷ 131072     		x = 0.592384338378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57431 ÷ 217
    57431 ÷ 131072     		y = 0.438163757324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592384338378906 × 2 - 1) × π
    0.184768676757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58046792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438163757324219 × 2 - 1) × π
    0.123672485351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.388528571420555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58046792} λ = 0.58046792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388528571420555))-π/2
    2×atan(1.47480912025438)-π/2
    2×0.974951666069663-π/2
    1.94990333213933-1.57079632675     		φ = 0.37910701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58046792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.258362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37910701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.721232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77645 KachelY 57431 0.58046792 0.37910701 33.258362 21.721232
    Oben rechts KachelX + 1 77646 KachelY 57431 0.58051585 0.37910701 33.261108 21.721232
    Unten links KachelX 77645 KachelY + 1 57432 0.58046792 0.37906247 33.258362 21.718680
    Unten rechts KachelX + 1 77646 KachelY + 1 57432 0.58051585 0.37906247 33.261108 21.718680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37910701-0.37906247) × R
    4.45400000000373e-05 × 6371000     		dl = 283.764340000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37910701-0.37906247) × R
    4.45400000000373e-05 × 6371000     		dr = 283.764340000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58046792-0.58051585) × cos(0.37910701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928995493529444 × 6371000     		do = 283.679949765177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58046792-0.58051585) × cos(0.37906247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929011976462591 × 6371000     		du = 283.684983027103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37910701)-sin(0.37906247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928995493529444-0.929011976462591)×R²
    abs(0.58051585-0.58046792)×1.64829331461558e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64829331461558e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64829331461558e-05×40589641000000     		ar = 80498.9678598481m²