Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77642 / 58299
↖ ↑ ↗
← N 19.489897°
E 33.250122°		 ← 287.86 m → N 19.489897°
E 33.252868°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
N 19.487308°
E 33.250122°		 ← 287.87 m →
82 879 m²		 N 19.487308°
E 33.252868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592365264892578 y=0.444789886474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592365264892578 × 217)
    floor (0.592365264892578 × 131072)
    floor (77642.5)     		tx = 77642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444789886474609 × 217)
    floor (0.444789886474609 × 131072)
    floor (58299.5)     		ty = 58299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77642 / 58299 ti = "17/77642/58299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77642/58299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77642 ÷ 217
    77642 ÷ 131072     		x = 0.592361450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58299 ÷ 217
    58299 ÷ 131072     		y = 0.444786071777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592361450195312 × 2 - 1) × π
    0.184722900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58032411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444786071777344 × 2 - 1) × π
    0.110427856445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.346919342550346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58032411} λ = 0.58032411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346919342550346))-π/2
    2×atan(1.41470261446364)-π/2
    2×0.955479597912999-π/2
    1.910959195826-1.57079632675     		φ = 0.34016287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58032411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.250122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34016287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.489897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77642 KachelY 58299 0.58032411 0.34016287 33.250122 19.489897
    Oben rechts KachelX + 1 77643 KachelY 58299 0.58037204 0.34016287 33.252868 19.489897
    Unten links KachelX 77642 KachelY + 1 58300 0.58032411 0.34011768 33.250122 19.487308
    Unten rechts KachelX + 1 77643 KachelY + 1 58300 0.58037204 0.34011768 33.252868 19.487308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34016287-0.34011768) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dl = 287.90549000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34016287-0.34011768) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dr = 287.90549000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58032411-0.58037204) × cos(0.34016287) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942700337981834 × 6371000     		do = 287.864888887995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58032411-0.58037204) × cos(0.34011768) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942715414239526 × 6371000     		du = 287.869492604649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34016287)-sin(0.34011768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942700337981834-0.942715414239526)×R²
    abs(0.58037204-0.58032411)×1.50762576918151e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50762576918151e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50762576918151e-05×40589641000000     		ar = 82878.5446209007m²