Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77642 / 58058
↖ ↑ ↗
← N 20.112681°
E 33.250122°		 ← 286.74 m → N 20.112681°
E 33.252868°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
N 20.110102°
E 33.250122°		 ← 286.75 m →
82 226 m²		 N 20.110102°
E 33.252868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592365264892578 y=0.442951202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592365264892578 × 217)
    floor (0.592365264892578 × 131072)
    floor (77642.5)     		tx = 77642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442951202392578 × 217)
    floor (0.442951202392578 × 131072)
    floor (58058.5)     		ty = 58058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77642 / 58058 ti = "17/77642/58058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77642/58058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77642 ÷ 217
    77642 ÷ 131072     		x = 0.592361450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58058 ÷ 217
    58058 ÷ 131072     		y = 0.442947387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592361450195312 × 2 - 1) × π
    0.184722900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58032411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442947387695312 × 2 - 1) × π
    0.114105224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.35847213535878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58032411} λ = 0.58032411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35847213535878))-π/2
    2×atan(1.43114115333777)-π/2
    2×0.960914420485297-π/2
    1.92182884097059-1.57079632675     		φ = 0.35103251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58032411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.250122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35103251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.112681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77642 KachelY 58058 0.58032411 0.35103251 33.250122 20.112681
    Oben rechts KachelX + 1 77643 KachelY 58058 0.58037204 0.35103251 33.252868 20.112681
    Unten links KachelX 77642 KachelY + 1 58059 0.58032411 0.35098750 33.250122 20.110102
    Unten rechts KachelX + 1 77643 KachelY + 1 58059 0.58037204 0.35098750 33.252868 20.110102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35103251-0.35098750) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dl = 286.758710000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35103251-0.35098750) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dr = 286.758710000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58032411-0.58037204) × cos(0.35103251) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939018166773379 × 6371000     		do = 286.740493612973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58032411-0.58037204) × cos(0.35098750) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939033643300001 × 6371000     		du = 286.74521955656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35103251)-sin(0.35098750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939018166773379-0.939033643300001)×R²
    abs(0.58037204-0.58032411)×1.5476526621705e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5476526621705e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5476526621705e-05×40589641000000     		ar = 82226.0116698673m²