Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77642 / 57452
↖ ↑ ↗
← N 21.667638°
E 33.250122°		 ← 283.79 m → N 21.667638°
E 33.252868°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
N 21.665086°
E 33.250122°		 ← 283.79 m →
80 547 m²		 N 21.665086°
E 33.252868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592365264892578 y=0.438327789306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592365264892578 × 217)
    floor (0.592365264892578 × 131072)
    floor (77642.5)     		tx = 77642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438327789306641 × 217)
    floor (0.438327789306641 × 131072)
    floor (57452.5)     		ty = 57452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77642 / 57452 ti = "17/77642/57452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77642/57452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77642 ÷ 217
    77642 ÷ 131072     		x = 0.592361450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57452 ÷ 217
    57452 ÷ 131072     		y = 0.438323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592361450195312 × 2 - 1) × π
    0.184722900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58032411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438323974609375 × 2 - 1) × π
    0.12335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.387521896528534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58032411} λ = 0.58032411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387521896528534))-π/2
    2×atan(1.47332521397341)-π/2
    2×0.974483980802589-π/2
    1.94896796160518-1.57079632675     		φ = 0.37817163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58032411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.250122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37817163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.667638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77642 KachelY 57452 0.58032411 0.37817163 33.250122 21.667638
    Oben rechts KachelX + 1 77643 KachelY 57452 0.58037204 0.37817163 33.252868 21.667638
    Unten links KachelX 77642 KachelY + 1 57453 0.58032411 0.37812708 33.250122 21.665086
    Unten rechts KachelX + 1 77643 KachelY + 1 57453 0.58037204 0.37812708 33.252868 21.665086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37817163-0.37812708) × R
    4.45499999999766e-05 × 6371000     		dl = 283.828049999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37817163-0.37812708) × R
    4.45499999999766e-05 × 6371000     		dr = 283.828049999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58032411-0.58037204) × cos(0.37817163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929341262824132 × 6371000     		do = 283.785534578914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58032411-0.58037204) × cos(0.37812708) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929357710737887 × 6371000     		du = 283.790557147248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37817163)-sin(0.37812708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929341262824132-0.929357710737887)×R²
    abs(0.58037204-0.58032411)×1.64479137548801e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64479137548801e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64479137548801e-05×40589641000000     		ar = 80547.0076839932m²