Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77641 / 84297
↖ ↑ ↗
← S 45.723439°
E 33.247375°		 ← 213.22 m → S 45.723439°
E 33.250122°		 →
↑
213.17 m
↓
↑
213.17 m
↓
S 45.725356°
E 33.247375°		 ← 213.22 m →
45 453 m²		 S 45.725356°
E 33.250122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592357635498047 y=0.643138885498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592357635498047 × 217)
    floor (0.592357635498047 × 131072)
    floor (77641.5)     		tx = 77641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643138885498047 × 217)
    floor (0.643138885498047 × 131072)
    floor (84297.5)     		ty = 84297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77641 / 84297 ti = "17/77641/84297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77641/84297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77641 ÷ 217
    77641 ÷ 131072     		x = 0.592353820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84297 ÷ 217
    84297 ÷ 131072     		y = 0.643135070800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592353820800781 × 2 - 1) × π
    0.184707641601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58027617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643135070800781 × 2 - 1) × π
    -0.286270141601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.899344173771873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58027617} λ = 0.58027617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899344173771873))-π/2
    2×atan(0.406836386240575)-π/2
    2×0.386385885413851-π/2
    0.772771770827702-1.57079632675     		φ = -0.79802456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58027617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.247375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79802456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.723439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77641 KachelY 84297 0.58027617 -0.79802456 33.247375 -45.723439
    Oben rechts KachelX + 1 77642 KachelY 84297 0.58032411 -0.79802456 33.250122 -45.723439
    Unten links KachelX 77641 KachelY + 1 84298 0.58027617 -0.79805802 33.247375 -45.725356
    Unten rechts KachelX + 1 77642 KachelY + 1 84298 0.58032411 -0.79805802 33.250122 -45.725356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79802456--0.79805802) × R
    3.34600000000407e-05 × 6371000     		dl = 213.173660000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79802456--0.79805802) × R
    3.34600000000407e-05 × 6371000     		dr = 213.173660000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58027617-0.58032411) × cos(-0.79802456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.698122442940835 × 6371000     		do = 213.224563745673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58027617-0.58032411) × cos(-0.79805802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.698098485913118 × 6371000     		du = 213.217246652754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79802456)-sin(-0.79805802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698122442940835-0.698098485913118)×R²
    abs(0.58032411-0.58027617)×2.39570277172918e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39570277172918e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39570277172918e-05×40589641000000     		ar = 45453.080754062m²