Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77640 / 60238
↖ ↑ ↗
← N 14.397439°
E 33.244629°		 ← 295.83 m → N 14.397439°
E 33.247375°		 →
↑
295.81 m
↓
↑
295.81 m
↓
N 14.394779°
E 33.244629°		 ← 295.84 m →
87 510 m²		 N 14.394779°
E 33.247375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592350006103516 y=0.459583282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592350006103516 × 217)
    floor (0.592350006103516 × 131072)
    floor (77640.5)     		tx = 77640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459583282470703 × 217)
    floor (0.459583282470703 × 131072)
    floor (60238.5)     		ty = 60238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77640 / 60238 ti = "17/77640/60238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77640/60238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77640 ÷ 217
    77640 ÷ 131072     		x = 0.59234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60238 ÷ 217
    60238 ÷ 131072     		y = 0.459579467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59234619140625 × 2 - 1) × π
    0.1846923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58022823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459579467773438 × 2 - 1) × π
    0.080841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.253969694187058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58022823} λ = 0.58022823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253969694187058))-π/2
    2×atan(1.28913273546026)-π/2
    2×0.911039518801788-π/2
    1.82207903760358-1.57079632675     		φ = 0.25128271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58022823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.244629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25128271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.397439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77640 KachelY 60238 0.58022823 0.25128271 33.244629 14.397439
    Oben rechts KachelX + 1 77641 KachelY 60238 0.58027617 0.25128271 33.247375 14.397439
    Unten links KachelX 77640 KachelY + 1 60239 0.58022823 0.25123628 33.244629 14.394779
    Unten rechts KachelX + 1 77641 KachelY + 1 60239 0.58027617 0.25123628 33.247375 14.394779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25128271-0.25123628) × R
    4.64300000000417e-05 × 6371000     		dl = 295.805530000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25128271-0.25123628) × R
    4.64300000000417e-05 × 6371000     		dr = 295.805530000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58022823-0.58027617) × cos(0.25128271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968594277167626 × 6371000     		do = 295.833623863493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58022823-0.58027617) × cos(0.25123628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968605820784729 × 6371000     		du = 295.837149581289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25128271)-sin(0.25123628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968594277167626-0.968605820784729)×R²
    abs(0.58027617-0.58022823)×1.15436171035377e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15436171035377e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15436171035377e-05×40589641000000     		ar = 87509.7433779889m²