Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77639 / 57492
↖ ↑ ↗
← N 21.565502°
E 33.241883°		 ← 283.99 m → N 21.565502°
E 33.244629°		 →
↑
284.08 m
↓
↑
284.08 m
↓
N 21.562947°
E 33.241883°		 ← 283.99 m →
80 676 m²		 N 21.562947°
E 33.244629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592342376708984 y=0.438632965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592342376708984 × 217)
    floor (0.592342376708984 × 131072)
    floor (77639.5)     		tx = 77639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438632965087891 × 217)
    floor (0.438632965087891 × 131072)
    floor (57492.5)     		ty = 57492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77639 / 57492 ti = "17/77639/57492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77639/57492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77639 ÷ 217
    77639 ÷ 131072     		x = 0.592338562011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57492 ÷ 217
    57492 ÷ 131072     		y = 0.438629150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592338562011719 × 2 - 1) × π
    0.184677124023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58018030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438629150390625 × 2 - 1) × π
    0.12274169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.385604420543732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58018030} λ = 0.58018030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385604420543732))-π/2
    2×atan(1.47050285502531)-π/2
    2×0.973592671024612-π/2
    1.94718534204922-1.57079632675     		φ = 0.37638902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58018030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.241883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37638902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.565502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77639 KachelY 57492 0.58018030 0.37638902 33.241883 21.565502
    Oben rechts KachelX + 1 77640 KachelY 57492 0.58022823 0.37638902 33.244629 21.565502
    Unten links KachelX 77639 KachelY + 1 57493 0.58018030 0.37634443 33.241883 21.562947
    Unten rechts KachelX + 1 77640 KachelY + 1 57493 0.58022823 0.37634443 33.244629 21.562947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37638902-0.37634443) × R
    4.4590000000011e-05 × 6371000     		dl = 284.08289000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37638902-0.37634443) × R
    4.4590000000011e-05 × 6371000     		dr = 284.08289000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58018030-0.58022823) × cos(0.37638902) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929997964557908 × 6371000     		do = 283.986066353445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58018030-0.58022823) × cos(0.37634443) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930014353341952 × 6371000     		du = 283.99107086581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37638902)-sin(0.37634443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929997964557908-0.930014353341952)×R²
    abs(0.58022823-0.58018030)×1.63887840439747e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63887840439747e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63887840439747e-05×40589641000000     		ar = 80676.2933110017m²