Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77638 / 84342
↖ ↑ ↗
← S 45.809658°
E 33.239136°		 ← 212.90 m → S 45.809658°
E 33.241883°		 →
↑
212.86 m
↓
↑
212.86 m
↓
S 45.811572°
E 33.239136°		 ← 212.89 m →
45 315 m²		 S 45.811572°
E 33.241883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592334747314453 y=0.643482208251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592334747314453 × 217)
    floor (0.592334747314453 × 131072)
    floor (77638.5)     		tx = 77638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643482208251953 × 217)
    floor (0.643482208251953 × 131072)
    floor (84342.5)     		ty = 84342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77638 / 84342 ti = "17/77638/84342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77638/84342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77638 ÷ 217
    77638 ÷ 131072     		x = 0.592330932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84342 ÷ 217
    84342 ÷ 131072     		y = 0.643478393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592330932617188 × 2 - 1) × π
    0.184661865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58013236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643478393554688 × 2 - 1) × π
    -0.286956787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.901501334254776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58013236} λ = 0.58013236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901501334254776))-π/2
    2×atan(0.405959720759188)-π/2
    2×0.385633485804701-π/2
    0.771266971609401-1.57079632675     		φ = -0.79952936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58013236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.239136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79952936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.809658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77638 KachelY 84342 0.58013236 -0.79952936 33.239136 -45.809658
    Oben rechts KachelX + 1 77639 KachelY 84342 0.58018030 -0.79952936 33.241883 -45.809658
    Unten links KachelX 77638 KachelY + 1 84343 0.58013236 -0.79956277 33.239136 -45.811572
    Unten rechts KachelX + 1 77639 KachelY + 1 84343 0.58018030 -0.79956277 33.241883 -45.811572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79952936--0.79956277) × R
    3.34100000000115e-05 × 6371000     		dl = 212.855110000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79952936--0.79956277) × R
    3.34100000000115e-05 × 6371000     		dr = 212.855110000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58013236-0.58018030) × cos(-0.79952936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697044248644356 × 6371000     		do = 212.895255454807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58013236-0.58018030) × cos(-0.79956277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697020292346061 × 6371000     		du = 212.887938584672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79952936)-sin(-0.79956277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697044248644356-0.697020292346061)×R²
    abs(0.58018030-0.58013236)×2.39562982949915e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39562982949915e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39562982949915e-05×40589641000000     		ar = 45315.0643059341m²