Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77638 / 58972
↖ ↑ ↗
← N 17.738223°
E 33.239136°		 ← 290.91 m → N 17.738223°
E 33.241883°		 →
↑
290.84 m
↓
↑
290.84 m
↓
N 17.735607°
E 33.239136°		 ← 290.91 m →
84 606 m²		 N 17.735607°
E 33.241883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592334747314453 y=0.449924468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592334747314453 × 217)
    floor (0.592334747314453 × 131072)
    floor (77638.5)     		tx = 77638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449924468994141 × 217)
    floor (0.449924468994141 × 131072)
    floor (58972.5)     		ty = 58972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77638 / 58972 ti = "17/77638/58972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77638/58972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77638 ÷ 217
    77638 ÷ 131072     		x = 0.592330932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58972 ÷ 217
    58972 ÷ 131072     		y = 0.449920654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592330932617188 × 2 - 1) × π
    0.184661865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58013236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449920654296875 × 2 - 1) × π
    0.10015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.314657809106049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58013236} λ = 0.58013236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314657809106049))-π/2
    2×atan(1.36979050091427)-π/2
    2×0.940193360240008-π/2
    1.88038672048002-1.57079632675     		φ = 0.30959039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58013236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.239136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30959039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.738223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77638 KachelY 58972 0.58013236 0.30959039 33.239136 17.738223
    Oben rechts KachelX + 1 77639 KachelY 58972 0.58018030 0.30959039 33.241883 17.738223
    Unten links KachelX 77638 KachelY + 1 58973 0.58013236 0.30954474 33.239136 17.735607
    Unten rechts KachelX + 1 77639 KachelY + 1 58973 0.58018030 0.30954474 33.241883 17.735607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30959039-0.30954474) × R
    4.56500000000082e-05 × 6371000     		dl = 290.836150000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30959039-0.30954474) × R
    4.56500000000082e-05 × 6371000     		dr = 290.836150000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58013236-0.58018030) × cos(0.30959039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952458445058863 × 6371000     		do = 290.905325401162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58013236-0.58018030) × cos(0.30954474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952472352184623 × 6371000     		du = 290.909572995338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30959039)-sin(0.30954474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952458445058863-0.952472352184623)×R²
    abs(0.58018030-0.58013236)×1.39071257598822e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39071257598822e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39071257598822e-05×40589641000000     		ar = 84606.4025458156m²