Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77638 / 57489
↖ ↑ ↗
← N 21.573165°
E 33.239136°		 ← 284.03 m → N 21.573165°
E 33.241883°		 →
↑
284.02 m
↓
↑
284.02 m
↓
N 21.570611°
E 33.239136°		 ← 284.04 m →
80 671 m²		 N 21.570611°
E 33.241883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592334747314453 y=0.438610076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592334747314453 × 217)
    floor (0.592334747314453 × 131072)
    floor (77638.5)     		tx = 77638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438610076904297 × 217)
    floor (0.438610076904297 × 131072)
    floor (57489.5)     		ty = 57489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77638 / 57489 ti = "17/77638/57489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77638/57489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77638 ÷ 217
    77638 ÷ 131072     		x = 0.592330932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57489 ÷ 217
    57489 ÷ 131072     		y = 0.438606262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592330932617188 × 2 - 1) × π
    0.184661865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58013236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438606262207031 × 2 - 1) × π
    0.122787475585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.385748231242592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58013236} λ = 0.58013236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385748231242592))-π/2
    2×atan(1.47071434427541)-π/2
    2×0.973659541085766-π/2
    1.94731908217153-1.57079632675     		φ = 0.37652276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58013236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.239136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37652276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.573165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77638 KachelY 57489 0.58013236 0.37652276 33.239136 21.573165
    Oben rechts KachelX + 1 77639 KachelY 57489 0.58018030 0.37652276 33.241883 21.573165
    Unten links KachelX 77638 KachelY + 1 57490 0.58013236 0.37647818 33.239136 21.570611
    Unten rechts KachelX + 1 77639 KachelY + 1 57490 0.58018030 0.37647818 33.241883 21.570611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37652276-0.37647818) × R
    4.45800000000163e-05 × 6371000     		dl = 284.019180000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37652276-0.37647818) × R
    4.45800000000163e-05 × 6371000     		dr = 284.019180000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58013236-0.58018030) × cos(0.37652276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929948798142067 × 6371000     		do = 284.030299834465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58013236-0.58018030) × cos(0.37647818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929965188795549 × 6371000     		du = 284.035305961934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37652276)-sin(0.37647818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929948798142067-0.929965188795549)×R²
    abs(0.58018030-0.58013236)×1.63906534821345e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63906534821345e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63906534821345e-05×40589641000000     		ar = 80670.7637856579m²