Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77636 / 57067
↖ ↑ ↗
← N 22.646968°
E 33.233643°		 ← 281.82 m → N 22.646968°
E 33.236389°		 →
↑
281.92 m
↓
↑
281.92 m
↓
N 22.644432°
E 33.233643°		 ← 281.82 m →
79 450 m²		 N 22.644432°
E 33.236389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592319488525391 y=0.435390472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592319488525391 × 217)
    floor (0.592319488525391 × 131072)
    floor (77636.5)     		tx = 77636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435390472412109 × 217)
    floor (0.435390472412109 × 131072)
    floor (57067.5)     		ty = 57067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77636 / 57067 ti = "17/77636/57067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77636/57067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77636 ÷ 217
    77636 ÷ 131072     		x = 0.592315673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57067 ÷ 217
    57067 ÷ 131072     		y = 0.435386657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592315673828125 × 2 - 1) × π
    0.18463134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58003649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435386657714844 × 2 - 1) × π
    0.129226684570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.405977602882256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58003649} λ = 0.58003649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405977602882256))-π/2
    2×atan(1.50076893918296)-π/2
    2×0.983030235977411-π/2
    1.96606047195482-1.57079632675     		φ = 0.39526415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58003649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.233643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39526415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.646968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77636 KachelY 57067 0.58003649 0.39526415 33.233643 22.646968
    Oben rechts KachelX + 1 77637 KachelY 57067 0.58008442 0.39526415 33.236389 22.646968
    Unten links KachelX 77636 KachelY + 1 57068 0.58003649 0.39521990 33.233643 22.644432
    Unten rechts KachelX + 1 77637 KachelY + 1 57068 0.58008442 0.39521990 33.236389 22.644432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39526415-0.39521990) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dl = 281.916749999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39526415-0.39521990) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dr = 281.916749999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58003649-0.58008442) × cos(0.39526415) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.922894885080081 × 6371000     		do = 281.817055584843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58003649-0.58008442) × cos(0.39521990) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.922911922726865 × 6371000     		du = 281.822258235251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39526415)-sin(0.39521990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922894885080081-0.922911922726865)×R²
    abs(0.58008442-0.58003649)×1.70376467842903e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70376467842903e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70376467842903e-05×40589641000000     		ar = 79449.6817750901m²