Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77635 / 57046
↖ ↑ ↗
← N 22.700188°
E 33.230896°		 ← 281.77 m → N 22.700188°
E 33.233643°		 →
↑
281.73 m
↓
↑
281.73 m
↓
N 22.697654°
E 33.230896°		 ← 281.77 m →
79 382 m²		 N 22.697654°
E 33.233643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592311859130859 y=0.435230255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592311859130859 × 217)
    floor (0.592311859130859 × 131072)
    floor (77635.5)     		tx = 77635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435230255126953 × 217)
    floor (0.435230255126953 × 131072)
    floor (57046.5)     		ty = 57046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77635 / 57046 ti = "17/77635/57046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77635/57046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77635 ÷ 217
    77635 ÷ 131072     		x = 0.592308044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57046 ÷ 217
    57046 ÷ 131072     		y = 0.435226440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592308044433594 × 2 - 1) × π
    0.184616088867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.57998855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435226440429688 × 2 - 1) × π
    0.129547119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.406984277774277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57998855} λ = 0.57998855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406984277774277))-π/2
    2×atan(1.50228048628337)-π/2
    2×0.983494673446993-π/2
    1.96698934689399-1.57079632675     		φ = 0.39619302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57998855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.230896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39619302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.700188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77635 KachelY 57046 0.57998855 0.39619302 33.230896 22.700188
    Oben rechts KachelX + 1 77636 KachelY 57046 0.58003649 0.39619302 33.233643 22.700188
    Unten links KachelX 77635 KachelY + 1 57047 0.57998855 0.39614880 33.230896 22.697654
    Unten rechts KachelX + 1 77636 KachelY + 1 57047 0.58003649 0.39614880 33.233643 22.697654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39619302-0.39614880) × R
    4.42199999999837e-05 × 6371000     		dl = 281.725619999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39619302-0.39614880) × R
    4.42199999999837e-05 × 6371000     		dr = 281.725619999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57998855-0.58003649) × cos(0.39619302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922536823757694 × 6371000     		do = 281.766492073258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57998855-0.58003649) × cos(0.39614880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92255388775471 × 6371000     		du = 281.771703857174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39619302)-sin(0.39614880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922536823757694-0.92255388775471)×R²
    abs(0.58003649-0.57998855)×1.70639970159536e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70639970159536e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70639970159536e-05×40589641000000     		ar = 79381.5738339255m²