Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77634 / 56901
↖ ↑ ↗
← N 23.067097°
E 33.228149°		 ← 281.01 m → N 23.067097°
E 33.230896°		 →
↑
281.02 m
↓
↑
281.02 m
↓
N 23.064570°
E 33.228149°		 ← 281.01 m →
78 970 m²		 N 23.064570°
E 33.230896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592304229736328 y=0.434123992919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592304229736328 × 217)
    floor (0.592304229736328 × 131072)
    floor (77634.5)     		tx = 77634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434123992919922 × 217)
    floor (0.434123992919922 × 131072)
    floor (56901.5)     		ty = 56901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77634 / 56901 ti = "17/77634/56901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77634/56901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77634 ÷ 217
    77634 ÷ 131072     		x = 0.592300415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56901 ÷ 217
    56901 ÷ 131072     		y = 0.434120178222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592300415039062 × 2 - 1) × π
    0.184600830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57994061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434120178222656 × 2 - 1) × π
    0.131759643554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.413935128219185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57994061} λ = 0.57994061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413935128219185))-π/2
    2×atan(1.5127589883317)-π/2
    2×0.9866965629764-π/2
    1.9733931259528-1.57079632675     		φ = 0.40259680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57994061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.228149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40259680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.067097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77634 KachelY 56901 0.57994061 0.40259680 33.228149 23.067097
    Oben rechts KachelX + 1 77635 KachelY 56901 0.57998855 0.40259680 33.230896 23.067097
    Unten links KachelX 77634 KachelY + 1 56902 0.57994061 0.40255269 33.228149 23.064570
    Unten rechts KachelX + 1 77635 KachelY + 1 56902 0.57998855 0.40255269 33.230896 23.064570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40259680-0.40255269) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dl = 281.024809999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40259680-0.40255269) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dr = 281.024809999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57994061-0.57998855) × cos(0.40259680) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.920046648062204 × 6371000     		do = 281.005928319385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57994061-0.57998855) × cos(0.40255269) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.920063929854971 × 6371000     		du = 281.011206623729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40259680)-sin(0.40255269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920046648062204-0.920063929854971)×R²
    abs(0.57998855-0.57994061)×1.72817927666102e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.72817927666102e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.72817927666102e-05×40589641000000     		ar = 78970.379294882m²