Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77633 / 57049
↖ ↑ ↗
← N 22.692586°
E 33.225403°		 ← 281.78 m → N 22.692586°
E 33.228149°		 →
↑
281.79 m
↓
↑
281.79 m
↓
N 22.690052°
E 33.225403°		 ← 281.79 m →
79 404 m²		 N 22.690052°
E 33.228149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592296600341797 y=0.435253143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592296600341797 × 217)
    floor (0.592296600341797 × 131072)
    floor (77633.5)     		tx = 77633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435253143310547 × 217)
    floor (0.435253143310547 × 131072)
    floor (57049.5)     		ty = 57049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77633 / 57049 ti = "17/77633/57049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77633/57049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77633 ÷ 217
    77633 ÷ 131072     		x = 0.592292785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57049 ÷ 217
    57049 ÷ 131072     		y = 0.435249328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592292785644531 × 2 - 1) × π
    0.184585571289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.57989267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435249328613281 × 2 - 1) × π
    0.129501342773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.406840467075417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57989267} λ = 0.57989267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406840467075417))-π/2
    2×atan(1.50206445781073)-π/2
    2×0.983428336273747-π/2
    1.96685667254749-1.57079632675     		φ = 0.39606035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57989267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.225403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39606035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.692586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77633 KachelY 57049 0.57989267 0.39606035 33.225403 22.692586
    Oben rechts KachelX + 1 77634 KachelY 57049 0.57994061 0.39606035 33.228149 22.692586
    Unten links KachelX 77633 KachelY + 1 57050 0.57989267 0.39601612 33.225403 22.690052
    Unten rechts KachelX + 1 77634 KachelY + 1 57050 0.57994061 0.39601612 33.228149 22.690052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39606035-0.39601612) × R
    4.42299999999785e-05 × 6371000     		dl = 281.789329999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39606035-0.39601612) × R
    4.42299999999785e-05 × 6371000     		dr = 281.789329999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57989267-0.57994061) × cos(0.39606035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922588014194666 × 6371000     		do = 281.782126950352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57989267-0.57994061) × cos(0.39601612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922605076636724 × 6371000     		du = 281.787338259343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39606035)-sin(0.39601612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922588014194666-0.922605076636724)×R²
    abs(0.57994061-0.57989267)×1.70624420576804e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70624420576804e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70624420576804e-05×40589641000000     		ar = 79403.9310178633m²